Точки P и E лежат соответственно на сторонах ВС и DC параллелограмма ANCD так,что BP=PC и DE:EC =1:2....

Для начала обозначим точку B как начало координат (0,0) и векторы m и n как векторы AB и AD соответственно. Так как BP=PC, то точка P делит отрезок BC пополам, следовательно вектор BP равен вектору PC и равен половине вектора BC. Таким образом, вектор BP равен 0.5m. Также, так как DE:EC = 1:2, то точка E делит отрезок DC таким образом, что DE равен третьей части отрезка DC, а EC равен двум третьим частям. Таким образом, вектор DE равен 0.333n, а вектор EC равен 0.666*n. Теперь, выразим векторы AP, AE, DP, BE, PE через векторы m и n:

1. Вектор AP равен вектору AB минус вектору BP, то есть AP = m - 0.5m = 0.5m.
2. Вектор AE равен вектору AD плюс вектору DE, то есть AE = n + 0.333n = 1.333n.
3. Вектор DP равен вектору AD плюс вектору DP, то есть DP = n - 0.333n = 0.666n.
4. Вектор BE равен вектору BC минус вектору EC, то есть BE = m - 0.666*n.
5. Вектор PE равен вектору PC плюс вектору EC, то есть PE = 0.5m + 0.666n.

Таким образом, векторы AP, AE, DP, BE, PE выражены через векторы m и n.

m = AB, n = AD

AP = m/3 AE = 2m/3 DP = n/3 BE = 2n/3 PE = m/3 + n/3

Для решения задачи будем использовать векторный метод. Пусть ( \mathbf{m} = \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{n} = \mathbf{AD} ). Рассмотрим параллелограмм ( ANCD ), где ( \mathbf{A} ) — начало координат.

1. Вектор ( \mathbf{AP} ):

   Точка ( P ) лежит на стороне ( BC ) и делит её пополам, то есть ( BP = PC ). Поскольку ( P ) делит отрезок ( BC ) пополам, её координаты можно записать как среднее арифметическое координат точек ( B ) и ( C ).

   Координаты точек:

   • ( \mathbf{B} = \mathbf{m} )
   • ( \mathbf{C} = \mathbf{m} + \mathbf{n} )

   Тогда: [ \mathbf{P} = \frac{\mathbf{B} + \mathbf{C}}{2} = \frac{\mathbf{m} + (\mathbf{m} + \mathbf{n})}{2} = \frac{2\mathbf{m} + \mathbf{n}}{2} = \mathbf{m} + \frac{\mathbf{n}}{2} ]

   Таким образом, вектор ( \mathbf{AP} ): [ \mathbf{AP} = \mathbf{P} - \mathbf{A} = \mathbf{m} + \frac{\mathbf{n}}{2} ]

2. Вектор ( \mathbf{AE} ):

   Точка ( E ) лежит на стороне ( DC ) и делит её в отношении ( 1:2 ). Координаты точек:

   • ( \mathbf{D} = \mathbf{n} )
   • ( \mathbf{C} = \mathbf{m} + \mathbf{n} )

   Тогда: [ \mathbf{E} = \frac{2\mathbf{D} + \mathbf{C}}{3} = \frac{2\mathbf{n} + (\mathbf{m} + \mathbf{n})}{3} = \frac{2\mathbf{n} + \mathbf{m} + \mathbf{n}}{3} = \frac{\mathbf{m} + 3\mathbf{n}}{3} = \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} ]

   Таким образом, вектор ( \mathbf{AE} ): [ \mathbf{AE} = \mathbf{E} - \mathbf{A} = \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} ]

3. Вектор ( \mathbf{DP} ):

   Вектор ( DP ) можно найти как разность векторов ( \mathbf{P} ) и ( \mathbf{D} ): [ \mathbf{DP} = \mathbf{P} - \mathbf{D} = \left( \mathbf{m} + \frac{\mathbf{n}}{2} \right) - \mathbf{n} = \mathbf{m} - \frac{\mathbf{n}}{2} ]

4. Вектор ( \mathbf{BE} ):

   Вектор ( BE ) можно найти как разность векторов ( \mathbf{E} ) и ( \mathbf{B} ): [ \mathbf{BE} = \mathbf{E} - \mathbf{B} = \left( \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} \right) - \mathbf{m} = \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} - \mathbf{m} = -\frac{2\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} ]

5. Вектор ( \mathbf{PE} ):

   Вектор ( PE ) можно найти как разность векторов ( \mathbf{E} ) и ( \mathbf{P} ): [ \mathbf{PE} = \mathbf{E} - \mathbf{P} = \left( \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} \right) - \left( \mathbf{m} + \frac{\mathbf{n}}{2} \right) = \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} - \mathbf{m} - \frac{\mathbf{n}}{2} = -\frac{2\mathbf{m}}{3} + \frac{\mathbf{n}}{2} ]

Таким образом, векторы через ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) выражаются следующим образом:

• ( \mathbf{AP} = \mathbf{m} + \frac{\mathbf{n}}{2} )
• ( \mathbf{AE} = \frac{\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} )
• ( \mathbf{DP} = \mathbf{m} - \frac{\mathbf{n}}{2} )
• ( \mathbf{BE} = -\frac{2\mathbf{m}}{3} + \mathbf{n} )
• ( \mathbf{PE} = -\frac{2\mathbf{m}}{3} + \frac{\mathbf{n}}{2} )