Точки А(4;-1),В(2;-4),С(0;-1) являются вершинами треугольника ABC А) Докажите что треугольник равнобедренный. Б) Составьте уравнение окружности,имеющий центр в точке В и проходящий через А. В) Принадлежит ли этой окружности точка С. Г) Найдите длину медианы,проведённой к основанию треугольника. Д) Считая,что А,В,С - три вершины параллелограмма,найдите координаты четвё
А) Для доказательства того, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Для этого вычислим длины сторон AB, BC и AC, а затем сравним их: AB = √((2 - 4)^2 + (-4 + 1)^2) = √8 BC = √((0 - 2)^2 + (-1 + 4)^2) = √10 AC = √((0 - 4)^2 + (-1 + 1)^2) = 4
Таким образом, мы видим, что AB = AC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.
Б) Уравнение окружности с центром в точке В и проходящей через точку А имеет вид: (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = (4 - 2)^2 + (-1 + 4)^2 (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 5
В) Точка С принадлежит окружности, так как ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Г) Длина медианы, проведенной к основанию треугольника, можно найти по формуле: m = 0.5 √(2 AB^2 + 2 AC^2 - BC^2) = 0.5 √(2 8 + 2 16 - 10) = √14
Д) Координаты четвертой вершины параллелограмма можно найти, используя свойство диагоналей параллелограмма, которые делятся пополам: D(6; 2)
Рассмотрим треугольник ABC с вершинами A(4, -1), B(2, -4) и C(0, -1).
A) Докажите, что треугольник равнобедренный.
Для доказательства равнобедренности треугольника нужно показать, что две его стороны равны. Найдём длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] [ BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} ] [ AC = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} ]
Найдём длину ( AB ): [ AB = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]
Найдём длину ( BC ): [ BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ]
Найдём длину ( AC ): [ AC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4 ]
Поскольку ( AB = BC = \sqrt{13} ), то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
Б) Составьте уравнение окружности, имеющей центр в точке B и проходящей через A.
Центр окружности находится в точке B(2, -4), а радиусом будет расстояние от B до A, которое мы уже нашли и оно равно ( \sqrt{13} ).
Уравнение окружности с центром в точке (h, k) и радиусом R имеет вид: [ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 ]
Подставим координаты центра (2, -4) и радиус ( \sqrt{13} ) в уравнение: [ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 13 ]
В) Принадлежит ли этой окружности точка C?
Для проверки подставим координаты точки C(0, -1) в уравнение окружности и проверим, выполняется ли оно: [ (0 - 2)^2 + (-1 + 4)^2 = 4 + 9 = 13 ]
Поскольку уравнение выполняется, то точка C принадлежит этой окружности.
Г) Найдите длину медианы, проведённой к основанию треугольника.
Основанием треугольника является отрезок AC. Медиана, проведённая к AC, делит его пополам. Координаты середины основания AC (точки M) вычисляются как среднее арифметическое координат точек A и C: [ M \left( \frac{4 + 0}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2} \right) = M(2, -1) ]
Теперь найдём длину медианы BM: [ BM = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{0 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3 ]
Д) Считая, что A, B, C — три вершины параллелограмма, найдите координаты четвёртой вершины.
Для нахождения четвёртой вершины параллелограмма D, используя правило параллелограмма, необходимо, чтобы векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{CD} ) были равны. Тогда координаты точки D будут: [ D = A + C - B ] [ D = (4, -1) + (0, -1) - (2, -4) ] [ D = (4 + 0 - 2, -1 - 1 + 4) ] [ D = (2, 2) ]
Таким образом, координаты четвёртой вершины параллелограмма D(2, 2).
