Точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причём АВ1 = 1/3 АС,...

Чтобы найти площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ), используя условия задачи, мы можем применить теорему о площадях треугольников, когда точки делят стороны в определенных отношениях.

У нас есть треугольник ( ABC ) с площадью 27 см². Точки ( A_1 ), ( B_1 ), и ( C_1 ) делят стороны ( BC ), ( AC ), и ( AB ) соответственно, в соотношениях:

1. ( AB_1 = \frac{1}{3}AC ) означает, что ( B_1 ) делит сторону ( AC ) в отношении ( 1:2 ).
2. ( CA_1 = \frac{1}{3}CB ) означает, что ( A_1 ) делит сторону ( BC ) в отношении ( 1:2 ).
3. ( BC_1 = \frac{1}{3}BA ) означает, что ( C_1 ) делит сторону ( AB ) в отношении ( 1:2 ).

Точки делят стороны в отношении 1:2, что означает, что каждая из них находится на 1/3 расстояния от вершины к противоположной стороне.

Треугольник ( A_1B_1C_1 ) является так называемым "треугольником медиан". Для нахождения его площади можно воспользоваться известным фактом, что если точки на сторонах треугольника делят стороны в отношении ( k:1-k ), то площадь треугольника, образованного этими точками, равна ( (k(1-k))^2 ) от площади исходного треугольника.

В данном случае ( k = \frac{1}{3} ). Подставляя это значение в формулу, получаем:

[ \text{Площадь } A_1B_1C_1 = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)^2 \cdot 27 = \left(\frac{2}{9}\right)^2 \cdot 27 = \frac{4}{81} \cdot 27 ]

Теперь вычислим:

[ \frac{4}{81} \times 27 = \frac{4 \times 27}{81} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) равна ( \frac{4}{3} ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой о параллельных прямых.

Из условия задачи мы знаем, что отношение длин отрезков, на которых лежат точки А1, В1, С1 к соответственным сторонам треугольника, равно 1:3. Это означает, что отрезки А1В1, В1С1 и С1А1 делят соответствующие стороны в отношении 1:3.

Таким образом, мы можем построить параллельные прямые через точки А1, В1, С1, параллельные сторонам треугольника АВС, и получить новый треугольник А1В1С1. Поскольку отношение длин отрезков равно 1:3, то площадь треугольника А1В1С1 будет равна 1/9 от площади треугольника АВС.

Из условия задачи мы знаем, что площадь треугольника АВС равна 27 см², следовательно, площадь треугольника А1В1С1 будет равна 27/9 = 3 см².

Таким образом, площадь треугольника А1В1С1 равна 3 см².