Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB так,что дуга ACB на 60 градусов меньше дуги...

Для решения задачи начнем с того, что AM является диаметром окружности. Это значит, что ∠AMB — прямой (90°), так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.

Теперь разберемся с дугами. По условию, дуга ACB на 60° меньше дуги AMB. Поскольку через точки A и B проходит диаметр, дуга AMB вместе с дугой ACB образует полную окружность, т.е. 360°. Обозначим градусную меру дуги AMB как x. Тогда дуга ACB будет x - 60°. Учитывая, что сумма этих двух дуг равна 360°, мы получаем уравнение: [ x + (x - 60°) = 360° ] [ 2x - 60° = 360° ] [ 2x = 420° ] [ x = 210° ]

Таким образом, дуга AMB равна 210°, а дуга ACB равна 210° - 60° = 150°.

Теперь рассмотрим углы треугольника ABM. Так как AM — диаметр, и мы уже знаем, что ∠AMB = 90°, то углы ∠ABM и ∠MAB будут острыми углами в прямоугольном треугольнике ABM. Используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим: [ ∠ABM + ∠MAB = 90° ]

Угол ∠ABM — это вписанный угол, опирающийся на дугу ACM. Поскольку дуга ACM равна половине дуги AMB (т.к. AM — диаметр, и точка B лежит на окружности), то дуга ACM составляет 105° (половина от 210°). Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно: [ ∠ABM = \frac{105°}{2} = 52.5° ]

Таким же образом можно найти ∠MAB: [ ∠MAB = \frac{дуга BMC}{2} = \frac{105°}{2} = 52.5° ]

Теперь рассмотрим угол ∠ACB, который также является вписанным и опирается на дугу AMB. Поскольку дуга AMB составляет 210°: [ ∠ACB = \frac{210°}{2} = 105° ]

Итак, мы нашли все углы:

• ∠AMB = 90°
• ∠ABM = 52.5°
• ∠ACB = 105°

Поскольку AM является диаметром окружности, то угол AMB равен 90 градусов.

Поскольку дуга ACB на 60 градусов меньше дуги AMB, то угол ACB равен 90 - 60 = 30 градусов.

Так как угол AMB равен 90 градусов, а угол ACB равен 30 градусов, то угол ABM равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.