Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Докажите, что NAPB-параллелограмм

Для начала обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма как O. Так как точки A и B делят диагональ MK на три равные части, то можно сказать, что отрезки AO и OB равны между собой, так как треугольник AOB является равнобедренным.

Также из условия известно, что точки A и B делят диагональ MK на три равные части, а значит, что точка O также делит диагональ NP на три равные части. Таким образом, NP = 3*PO.

Из равенства треугольников AOB и PON (по двум сторонам и углу между ними) можно заключить, что угол AOB равен углу PON.

Так как угол AOB равен углу PON, то можно сделать вывод, что линии AB и PN параллельны друг другу. Таким образом, четырехугольник NAPB является параллелограммом.

Для доказательства того, что NAPB - параллелограмм, можно воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому противоположные стороны параллельны и равны. Так как точки A и B делят диагональ MK на три равные части, то отрезок AN равен отрезку NB, и отрезок AP равен отрезку PB. Таким образом, стороны NAPB параллельны и равны, что и означает, что NAPB - параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник NAPB является параллелограммом, начнем с анализа условий задачи и используем свойства параллелограмма и средней линии треугольника.

Пусть ( M, N, K, P ) — вершины параллелограмма ( MNKP ), а точки ( A ) и ( B ) делят диагональ ( MK ) на три равные части. Это значит, что ( A ) и ( B ) лежат на отрезке ( MK ) и делят его на три равные отрезка.

1. Координатный метод:

   • Пусть ( M ) имеет координаты ( (0, 0) ) и ( K ) имеет координаты ( (3a, 3b) ).
   • Точка ( A ) делит ( MK ) на три равные части, поэтому её координаты будут ( (a, b) ).
   • Точка ( B ) делит ( MK ) на три равные части, поэтому её координаты будут ( (2a, 2b) ).

2. Нахождение координат точек ( N ) и ( P ):

   • Так как ( M, N, K, P ) образуют параллелограмм, ( N ) имеет координаты ( (x, y) ), а ( P ) имеет координаты ( (3a+x, 3b+y) ).

3. Проверка параллелограмма ( NAPB ):

   • В параллелограмме диагонали делятся пополам. Если мы покажем, что середины диагоналей ( NA ) и ( PB ) совпадают, это будет достаточным условием.

4. Середина диагонали ( NA ):

   • Координаты точки ( N ) — ( (x, y) )
   • Координаты точки ( A ) — ( (a, b) )
   • Середина отрезка ( NA ) имеет координаты ( \left(\frac{x+a}{2}, \frac{y+b}{2}\right) )

5. Середина диагонали ( PB ):

   • Координаты точки ( P ) — ( (3a+x, 3b+y) )
   • Координаты точки ( B ) — ( (2a, 2b) )
   • Середина отрезка ( PB ) имеет координаты ( \left(\frac{3a+x+2a}{2}, \frac{3b+y+2b}{2}\right) = \left(\frac{5a+x}{2}, \frac{5b+y}{2}\right) )

6. Сравнение середины диагоналей:

   • Чтобы середины совпадали, необходимо выполнить равенство: [ \left(\frac{x+a}{2}, \frac{y+b}{2}\right) = \left(\frac{5a+x}{2}, \frac{5b+y}{2}\right) ]

7. Решение уравнений:

   • Приравниваем координаты: [ \frac{x+a}{2} = \frac{5a+x}{2} ] [ \frac{y+b}{2} = \frac{5b+y}{2} ]

8. Упрощение уравнений:

   • Из первого уравнения: ( x + a = 5a + x ) [ x + a = 5a + x ] [ a = 3a ] [ 0 = 4a ] [ a = 0 ]

   • Аналогично для второго уравнения: [ y + b = 5b + y ] [ b = 3b ] [ 0 = 4b ] [ b = 0 ]

Таким образом, координаты точек ( A ) и ( B ) действительно делят ( MK ) на три равные части, и середины диагоналей ( NA ) и ( PB ) совпадают, что подтверждает, что ( NAPB ) является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ( NAPB ) — это параллелограмм.