Точка М удалена от каждой стороны прямоугольного треугольника на 5 см. Его катеты равны 9 см и 12 см....

Для решения задачи необходимо понять, что точка ( M ) находится на расстоянии 5 см от каждой стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что точка ( M ) является центром окружности, которая касается всех трех сторон треугольника. Такая окружность называется вписанной окружностью.

Во-первых, найдем радиус вписанной окружности для данного треугольника. Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле: [ r = \frac{a + b - c}{2}, ] где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза треугольника.

У нас ( a = 9 ) см, ( b = 12 ) см. Сначала найдем гипотенузу ( c ) по теореме Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}. ]

Теперь подставим значения в формулу для радиуса: [ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}. ]

Однако, заметим, что точка ( M ) находится на расстоянии 5 см от каждой стороны треугольника, а радиус вписанной окружности равен 3 см. Это противоречие указывает на то, что точка ( M ) не лежит в плоскости треугольника, а находится на некотором расстоянии от этой плоскости.

Теперь найдем расстояние от точки ( M ) до плоскости треугольника. Пусть это расстояние равно ( d ). Тогда, так как точка ( M ) удалена на 5 см от каждой стороны, это расстояние будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами ( r ) и ( d ):

[ 5 = \sqrt{r^2 + d^2}. ]

Подставим найденный радиус ( r = 3 ) см: [ 5 = \sqrt{3^2 + d^2}, ] [ 5 = \sqrt{9 + d^2}. ]

Возведем обе части уравнения в квадрат: [ 25 = 9 + d^2, ] [ d^2 = 16, ] [ d = \sqrt{16} = 4 \text{ см}. ]

Таким образом, расстояние от точки ( M ) до плоскости треугольника равно 4 см.

Для решения данной задачи нам нужно найти высоту треугольника, опущенную из точки М на плоскость треугольника.

Пусть точка М находится на расстоянии 5 см от стороны АВ. Тогда точка М будет являться вершиной прямоугольного треугольника МСD, где CD - высота, а MC и MD - катеты.

Так как треугольник МСD прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: MC^2 + MD^2 = CD^2

Также из подобия треугольников МСD и ABC (где АВ - гипотенуза) следует, что: MC/AC = CD/AB

Подставляя значения, получаем: MC/9 = CD/15 MD/12 = CD/15

Отсюда находим, что MC = 9CD/15 и MD = 12CD/15

Подставляем в уравнение Пифагора: (9CD/15)^2 + (12CD/15)^2 = CD^2 (81CD^2/225) + (144CD^2/225) = CD^2 (225*CD^2/225) = CD^2 CD = 15

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 15 см.