Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ( угол с =90 градусов) АС= ВС= 4 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2 корням из 3 см. 1) Докажите что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС 2) Какой угол ВМС составляет с плоскостью АВС? 3)Найдите угол между МС и плоскостью АВС
1) Пусть точка М равноудалена от вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ. Тогда М находится на высоте треугольника, проходящей через середину гипотенузы. Таким образом, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС. 2) Угол ВМС составляет 45 градусов с плоскостью АВС, так как треугольник ВМС является прямоугольным и угол напротив катета равен 45 градусов. 3) Угол между МС и плоскостью АВС равен 45 градусов, так как угол между прямой, проходящей через точку М и перпендикулярную плоскости АВС, и прямой, проходящей через МС, равен 45 градусов.
1) Поскольку точка М равноудалена от всех вершин треугольника АСВ, то она находится на высоте, опущенной из вершины С на гипотенузу. Таким образом, плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС.
2) Угол ВМС равен 45 градусов, так как треугольник ВМС является прямоугольным со сторонами, равными 2 корням из 3 см (расстояние от точки М до плоскости треугольника).
3) Угол между МС и плоскостью АВС также равен 45 градусов, так как угол ВМС составляет 45 градусов с плоскостью АВС, а угол между МС и ВМ равен 90 градусов (по свойству перпендикулярности).
1) Доказательство того, что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC, где угол С - прямой, и AC = BC = 4 см, точка M равноудалена от всех вершин треугольника. Это означает, что точка M лежит на оси симметрии треугольника ABC, которая проходит через вершину C и середину гипотенузы AB. Эта ось симметрии является перпендикуляром к плоскости ABC.
Поскольку точка M равноудалена от всех вершин и находится на высоте 2√3 см от плоскости ABC, она лежит на линии, которая является перпендикуляром к плоскости ABC, проходящей через центр описанной окружности треугольника ABC (середина AB).
Так как AM и BM лежат в плоскости AMB, и эта плоскость содержит линию, перпендикулярную плоскости ABC, то плоскость AMB перпендикулярна плоскости ABC.
2) Угол ВМС с плоскостью АВС
Так как плоскость AMB перпендикулярна плоскости ABC, то линия MB, лежащая в плоскости AMB, также перпендикулярна плоскости ABC. Следовательно, угол между MB и плоскостью ABC составляет 90 градусов.
3) Угол между МС и плоскостью АВС
Точка M проецируется в центр описанной окружности треугольника ABC, который лежит на середине гипотенузы AB. Линия MC проходит через вершину C и центр описанной окружности треугольника ABC, и перпендикулярна AB. Поэтому MC также перпендикулярна плоскости ABC.
Таким образом, угол между MC и плоскостью ABC составляет 90 градусов.
