Точка M расположена во внутренней области квадрата ABCD так , что расстояния от неё до сторон AB , BC...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства подобия треугольников.

Обозначим длины сторон квадрата ABCD через а. Таким образом, длины сторон AB, BC, CD и DA равны а, а, а и а соответственно.

Пусть точка M делит сторону AB в отношении 2:5, тогда AM = 2x, MB = 5x. Точка M также делит сторону BC в отношении 5:7, тогда BM = 5y, MC = 7y. Точка M делит сторону CD в отношении 2:7, тогда CM = 2z, MD = 7z.

Так как AM + MD = 4 м, то 2x + 7z = 4. Также, так как BM + MC = а, то 5y + 7y = а. Получаем уравнения:

2x + 7z = 4, 5y + 7y = а.

Решив систему уравнений, найдем значения x, y и z. После этого найдем длины сторон квадрата и выразим их через x, y и z.

Периметр квадрата равен 4а, найдем его значение, зная стороны квадрата.

Таким образом, после решения системы уравнений и найденных значений, мы сможем найти периметр квадрата ABCD.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим квадрат ABCD с вершинами A, B, C, D и расположим его на координатной плоскости. Пусть:

• A имеет координаты ((0, 0)),
• B имеет координаты ((a, 0)),
• C имеет координаты ((a, a)),
• D имеет координаты ((0, a)).

Точка M имеет координаты ((x, y)) и находится внутри квадрата. По условию задачи расстояние от точки M до стороны AB пропорционально числу 2, до стороны BC — числу 5, до стороны CD — числу 7, и расстояние от M до прямой AD равно 4 м.

Расстояние от точки M до прямых можно выразить следующим образом:

1. Расстояние до прямой AB (y = 0) равно просто (y).
2. Расстояние до прямой BC (x = a) равно (a - x).
3. Расстояние до прямой CD (y = a) равно (a - y).
4. Расстояние до прямой AD (x = 0) равно (x).

Согласно условию, расстояния пропорциональны числам 2, 5 и 7:

[ \frac{y}{2} = \frac{a - x}{5} = \frac{a - y}{7} ]

Также известно, что расстояние от M до прямой AD равно 4 м:

[ x = 4 ]

Теперь решим систему уравнений:

1. Подставим (x = 4) в пропорции: [ \frac{y}{2} = \frac{a - 4}{5} ]

2. Выразим (y) через (a): [ y = \frac{2(a - 4)}{5} ]

3. Подставим (y = \frac{2(a - 4)}{5}) в третью часть пропорции: [ \frac{a - y}{7} = \frac{a - 4}{5} ]

   [ a - \frac{2(a - 4)}{5} = \frac{7(a - 4)}{5} ]

   Упростим уравнение:

   [ 5a - 2(a - 4) = 7(a - 4) ]

   [ 5a - 2a + 8 = 7a - 28 ]

   [ 3a + 8 = 7a - 28 ]

   [ 36 = 4a ]

   [ a = 9 ]

Теперь, когда мы нашли сторону квадрата (a = 9), можем найти периметр квадрата. Периметр квадрата равен четырём сторонам:

[ P = 4a = 4 \times 9 = 36 ]

Итак, периметр квадрата равен 36 метрам.