Точка М, не лежащая в плоскости треугольника АВС, равноудалена от его сторон. МО – перпендикуляр к плоскости...

Правильный ответ: 2-точкой пересечения высот треугольника АВС.

Точка О, равноудаленная от сторон треугольника АВС и перпендикулярная к его плоскости, является точкой пересечения высот данного треугольника. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Таким образом, точка О является ортоцентром треугольника АВС.

3-центром вписанной в треугольник АВС окружности.

Для решения данной задачи необходимо тщательно проанализировать условия и понять, какой из четырех предложенных вариантов соответствует свойствам точки ( O ).

Точка ( M ) не лежит в плоскости треугольника ( ABC ) и равноудалена от его сторон. Это означает, что если опустить перпендикуляры из точки ( M ) на каждую сторону треугольника ( ABC ), то эти перпендикуляры будут равны.

Рассмотрим перпендикуляр ( MO ), опущенный из точки ( M ) на плоскость треугольника ( ABC ). Точка ( O ) является основанием этого перпендикуляра. Важно отметить, что ( O ) находится в плоскости треугольника ( ABC ).

Точка ( O ) также является точкой пересечения трёх равных отрезков, проведенных из точки ( M ) к сторонам треугольника ( ABC ). Это ключевое свойство ведет нас к выводу о природе точки ( O ).

Рассмотрим теперь возможные варианты:

1. Центр тяжести треугольника ( ABC ) (или медиана) не обязательно равноудален от всех сторон треугольника.
2. Точка пересечения высот треугольника ( ABC ) (ортцентр) также не обладает свойством равноудаленности от сторон треугольника.
3. Центр вписанной окружности треугольника ( ABC ) (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Он является единственной точкой, которая равноудалена от всех сторон треугольника.
4. Центр описанной около треугольника ( ABC ) окружности (центр окружности, описанной вокруг треугольника) не обладает свойством равноудаленности от сторон треугольника, но равноудален от его вершин.

Из всех перечисленных точек только инцентр (центр вписанной окружности) имеет свойство равноудаленности от всех сторон треугольника. Следовательно, точка ( O ) является центром вписанной в треугольник ( ABC ) окружности.

Ответ: ( O ) является центром вписанной в треугольник ( ABC ) окружности (вариант 3).