Точка M лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем BM:MC=3:1.Выразите векторы AM и MD через векторы...

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и теорией векторов. Вначале давайте разберемся с чертежом.

Шаг 1: Чертеж параллелограмма

1. Нарисуем параллелограмм (ABCD), где (AB) и (CD) — противоположные стороны, также как и (AD) и (BC).
2. Обозначим точки: (A), (B), (C), (D).
3. Точка (M) лежит на стороне (BC) так, что (BM:MC = 3:1).

Шаг 2: Определение векторов

Обозначим векторы:

• ( \mathbf{a} = \overrightarrow{AD} )
• ( \mathbf{b} = \overrightarrow{AB} )

Шаг 3: Запись вектора (\overrightarrow{AM})

Точка (M) делит сторону (BC) в отношении (3:1). Это значит, что (M) находится на 3/4 пути от (B) до (C), так как (BM:MC = 3:1).

Вектор (\overrightarrow{BC}) можно выразить через векторы ( \mathbf{a} ) и (\mathbf{b}): [ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\mathbf{b} + \mathbf{a} ]

Теперь найдём вектор (\overrightarrow{BM}): [ \overrightarrow{BM} = \frac{3}{4} \overrightarrow{BC} = \frac{3}{4}(-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Вектор (\overrightarrow{AM}) можно выразить через (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{BM}): [ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \mathbf{b} + \frac{3}{4}(-\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Объединяя все части, получаем: [ \overrightarrow{AM} = \mathbf{b} - \frac{3}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{a} = \frac{1}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{a} ]

Шаг 4: Запись вектора (\overrightarrow{MD})

Вектор (\overrightarrow{MD}) можно найти, используя свойства параллелограмма:

[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} ]

Подставим уже найденное выражение для (\overrightarrow{AM}): [ \overrightarrow{MD} = \mathbf{a} - \left(\frac{1}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{a}\right) ]

Упростим: [ \overrightarrow{MD} = \mathbf{a} - \frac{1}{4}\mathbf{b} - \frac{3}{4}\mathbf{a} = \frac{1}{4}\mathbf{a} - \frac{1}{4}\mathbf{b} ]

Заключение

Итак, векторы выражаются следующим образом:

• (\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{a})
• (\overrightarrow{MD} = \frac{1}{4}\mathbf{a} - \frac{1}{4}\mathbf{b})

Это разложение показывает, как векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) могут быть использованы для определения положения точки (M) относительно точек (A) и (D) в параллелограмме (ABCD).

Для начала, обозначим векторы a=AD и b=AB.

Так как точка M лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, то вектор BM = 3/4 BC, а вектор MC = 1/4 BC.

Теперь найдем вектор AM. Вектор AM = AB + BM. Подставим значения векторов AB и BM: AM = AB + 3/4 * BC.

Теперь найдем вектор MD. Вектор MD = AD - AM. Подставим значения векторов AD и AM: MD = AD - (AB + 3/4 * BC).

Итак, мы выразили векторы AM и MD через векторы a=AD и b=AB.

Чтобы наглядно представить расположение точки M на стороне ВС параллелограмма ABCD, приведем следующий чертеж:

• Вектор AB (a)
• Вектор BC
• Вектор AD (a)
• Точка M
• Вектор MC
• Вектор MD

На чертеже выделите отрезок BC и разделите его на 4 равные части. Точка M должна располагаться на 1/4 отрезка от точки B к точке C. Проведите вектор MC от точки M к точке C и вектор MD от точки M к точке D. Таким образом, вы наглядно продемонстрируете расположение точки M и векторы AM и MD на стороне ВС параллелограмма ABCD.

Для начала нарисуем параллелограмм ABCD, где точка M лежит на стороне BC.

Так как BM:MC=3:1, то можно представить вектор BM как 3/4 от вектора BC и вектор MC как 1/4 от вектора BC.

Теперь выразим вектор AM через векторы a=AD и b=AB. Вектор AM можно представить как сумму векторов AB и BM. Так как BM=3/4 BC и BC=AD, то вектор BM=3/4 AD. Получаем AM=AB+BM=AB+3/4*AD.

Теперь выразим вектор MD через векторы a=AD и b=AB. Вектор MD можно представить как разность векторов MC и CD. Так как MC=1/4 BC и BC=AD, то вектор MC=1/4 AD. Также вектор CD=-AD, так как CD - это отрицательный вектор AD. Получаем MD=MC-CD=1/4AD-(-AD)=1/4AD+AD=5/4*AD.

Таким образом, векторы AM и MD можно выразить через векторы a=AD и b=AB следующим образом: AM=AB+3/4AD MD=5/4AD

Надеюсь, мой ответ был понятен.