Точка К делит отрезок MN в отношении MK:KN=3:2. Выразить вектор AM через векторы AK=a, AN=b, где а -...

Для того чтобы выразить вектор AM через векторы AK и AN, нам необходимо воспользоваться теоремой о разделении вектора в данной пропорции.

Итак, пусть вектор AK=a, вектор AN=b, тогда векторы KM и KN можно представить как: KM = (2/5) MN, KN = (3/5) MN.

Теперь вспомним, что точка M делит отрезок KN в отношении MK:KN=3:2. Это значит, что вектор MN можно представить как сумму векторов MK и KN: MN = MK + KN = (3/5) MN + (2/5) MN.

Теперь выразим вектор MK через вектор AK: MK = MA - AK, то есть MA = MK + AK = (3/5) * MN + a.

Таким образом, мы выразили вектор AM через векторы AK и AN.

Для того чтобы выразить вектор ( \vec{AM} ) через векторы ( \vec{AK} = \vec{a} ) и ( \vec{AN} = \vec{b} ), учитывая, что точка ( K ) делит отрезок ( MN ) в отношении 3:2, можно использовать метод векторных параметров или линейных комбинаций.

1. Поскольку точка ( K ) делит отрезок ( MN ) в заданном отношении, точка ( M ) может быть выражена через точки ( K ) и ( N ) следующим образом: [ \vec{M} = \frac{2}{5} \vec{K} + \frac{3}{5} \vec{N} ] Это потому, что точка ( M ) делит отрезок ( KN ) в отношении 3 к 2, и координаты ( \vec{M} ) могут быть найдены по формуле для деления отрезка в данном отношении.

2. Теперь, зная, что ( \vec{AK} = \vec{a} ) и ( \vec{AN} = \vec{b} ), можно выразить ( \vec{K} ) и ( \vec{N} ) через точку ( A ): [ \vec{K} = \vec{A} + \vec{a} ] [ \vec{N} = \vec{A} + \vec{b} ]

3. Подставим выражения для ( \vec{K} ) и ( \vec{N} ) в формулу для ( \vec{M} ): [ \vec{M} = \frac{2}{5} (\vec{A} + \vec{a}) + \frac{3}{5} (\vec{A} + \vec{b}) ] Раскрыв скобки, получаем: [ \vec{M} = \frac{2}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{b} ] [ \vec{M} = (\frac{2}{5} + \frac{3}{5}) \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b} ] [ \vec{M} = \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b} ]

4. Теперь можно выразить вектор ( \vec{AM} ) через ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ): [ \vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} ] [ \vec{AM} = \left(\vec{A} + \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b}\right) - \vec{A} ] [ \vec{AM} = \frac{2}{5} \vec{a} + \frac{3}{5} \vec{b} ]

Итак, вектор ( \vec{AM} ) выражается через векторы ( \vec{AK} = \vec{a} ) и ( \vec{AN} = \vec{b} ) как ( \vec{AM} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b} ).