точка D лежит на отрезке AB причём BD:BA=1:4.через точку А проведена плоскость а,через точку D-отрезок DD1 параллельный а.прямая BD1 пересекает плоскость а в точке с а)Докажите подобие треугольника DBD1 и треугольника ABC б)Найдите DD1 если AC=12см
точка D лежит на отрезке AB причём BD:BA=1:4.через точку А проведена плоскость а,через точку D-отрезок DD1 параллельный а.прямая BD1 пересекает плоскость а в точке с а)Докажите подобие треугольника DBD1 и треугольника ABC б)Найдите DD1 если AC=12см
a) Для доказательства подобия треугольников DBD1 и ABC, обратим внимание на то, что углы ABD и BD1D равны, так как прямые AB и D1D параллельны и пересекаются с прямой BD. Также углы ABC и D1BD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и D1D. Таким образом, углы у треугольников DBD1 и ABC совпадают, что означает их подобие.
б) Так как треугольники DBD1 и ABC подобны, то соотношение сторон в этих треугольниках будет одинаково. Из условия BD:BA=1:4 можно выразить отношение сторон треугольников:
BD1:BC=BD:BA=1:4
Так как AC=12 см, то BC=3 см. Теперь, зная отношение сторон BD1:BC=1:4, можем найти DD1:
BD1/BC=1/4
BD1/3=1/4
BD1=3/4
Ответ: DD1=9 см.
а) Доказательство подобия треугольников DBD1 и ABC
Для доказательства подобия двух треугольников необходимо установить равенство углов и пропорциональность сторон.
Углы: Угол DBA общий для треугольников DBD1 и ABC. Кроме того, по условию DD1 параллельна плоскости а, а значит и линии AC на этой плоскости. По теореме о соответственных углах, угол AD1D равен углу DAC.
Стороны: По условию, BD:BA = 1:4. Поскольку точка D делит отрезок AB в указанном отношении, можно записать, что BD = 1/5 AB и AD = 4/5 AB. Треугольник DBD1 подобен треугольнику DBC по двум углам (угол при вершине D общий, а углы при основаниях равны как соответственные при параллельных прямых DD1 и AC и секущей BD1).
Поскольку треугольник DBC подобен треугольнику ABC (по двум равным углам и общему углу при вершине B), а треугольник DBD1 подобен DBC, следует, что треугольник DBD1 подобен ABC.
б) Нахождение длины DD1
Теперь, когда мы установили подобие треугольников DBD1 и ABC, мы можем использовать это для вычисления длин сторон.
Так как BD1 параллельна AC, и BD:BA = 1:4, то BD:BC = 1:4. Поскольку треугольники подобны, отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно тому же коэффициенту. Отсюда:
[ \frac{BD1}{AC} = \frac{BD}{BC} = \frac{1}{4} ]
Так как AC = 12 см, то:
[ BD1 = \frac{1}{4} \times 12 = 3 \text{ см} ]
Длина DD1 равна длине BD1, так как DD1 параллельна AC и, следовательно, имеет ту же длину, что и проекция DD1 на плоскость а, которая равна BD1. Таким образом, DD1 = 3 см.
