Точка А лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на расстояние 1 и корень из 2, в от ребра...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами двугранного угла. Из условия задачи мы знаем, что точка А лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на расстояние 1 и корень из 2, а от ребра двугранного угла на 2.

Пусть точка А расположена на расстоянии 1 от одной из граней двугранного угла. Тогда расстояние от точки А до другой грани будет равно 1 + √2. Также, расстояние от точки А до ребра двугранного угла будет равно 2.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 2 $расстояниеотточкиАдоребра$, а катеты равны 1 и √2 $расстоянияотточкиАдограней$.

Используя теорему Пифагора, найдем длину одного из катетов: $1+\surd 2$^2 = 1^2 + $\surd 2$^2 1 + 2 + 2√2 = 1 + 2 2 + 2√2 = 2 2√2 = 0 √2 = 0

Полученное уравнение противоречит действительности, так как корень из 2 не равен нулю. Следовательно, такой двугранный угол, в котором точка А будет находиться на указанных расстояниях, не существует.

Для решения задачи о нахождении величины двугранного угла, в котором точка $A$ удалена от его граней на расстояния 1 и $\sqrt{2}$, а от ребра двугранного угла на расстояние 2, воспользуемся методами аналитической геометрии и тригонометрии.

1. Обозначения и построение системы координат:

   • Пусть ребро двугранного угла совпадает с осью $z$.
   • Грани двугранного угла развернуты на угол $\theta$ относительно друг друга.
   • Точку $A$ примем за $(x,y,z$ ).

2. Уравнения плоскостей:

   • Уравнения плоскостей, составляющих двугранный угол, можно записать в виде: $x\cos (\theta /2)+y\sin (\theta /2)=0$ и $x\cos (\theta /2)-y\sin (\theta /2)=0$

3. Расстояние от точки до плоскости:

   • В общем виде расстояние от точки $A$ с координатами $(x_0,y_0,z_0$) до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

4. Применение формулы для двух граней:

   • Для первой плоскости: $d_1=\frac{|x\cos (\theta /2)+y\sin (\theta /2)|}{\sqrt{{\cos }^2(\theta /2)+{\sin }^2(\theta /2)}}=|x\cos (\theta /2)+y\sin (\theta /2)|$ Поскольку $d_1=1$, получаем: $|x\cos (\theta /2)+y\sin (\theta /2)|=1$
   • Для второй плоскости: $d_2=\frac{|x\cos (\theta /2)-y\sin (\theta /2)|}{\sqrt{{\cos }^2(\theta /2)+{\sin }^2(\theta /2)}}=|x\cos (\theta /2)-y\sin (\theta /2)|$ Поскольку $d_2=\sqrt{2}$, имеем: $|x\cos (\theta /2)-y\sin (\theta /2)|=\sqrt{2}$

5. Расстояние от точки до ребра:

   • Расстояние от точки $(x,y,z$ ) до оси $z$ определяется как: $d=\sqrt{x^2+y^2}$ Поскольку $d=2$, то: $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $x^2+y^2=4$

6. Решение системы уравнений:

   • Уравнения $x\cos (\theta /2$ + y \sin$\theta /2$ = \pm 1 ) и $x\cos (\theta /2$ - y \sin$\theta /2$ = \pm \sqrt{2} ) нужно решить вместе с $x^2+y^2=4$.

   • Пусть $x\cos (\theta /2$ + y \sin$\theta /2$ = 1 ) и $x\cos (\theta /2$ - y \sin$\theta /2$ = \sqrt{2} ). Тогда сложив эти два уравнения, получаем: $2x\cos (\theta /2)=1+\sqrt{2}$ $x\cos (\theta /2)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

   • Вычитая одно уравнение из другого, получаем: $2y\sin (\theta /2)=1-\sqrt{2}$ $y\sin (\theta /2)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

7. Подстановка в уравнение окружности:

   • Подставим найденные значения $x$ и $y$ в уравнение окружности $x^2+y^2=4$: ${\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2\cos (\theta /2)}\right)}^2+{\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2\sin (\theta /2)}\right)}^2=4$

8. Решение на $\theta$:

   • Упростим это уравнение и решим его на $\theta$: ${\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2\cos (\theta /2)}\right)}^2+{\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2\sin (\theta /2)}\right)}^2=4$ После некоторого преобразования и упрощения, получим уравнение вида: ${\cos }^2(\theta /2)+{\sin }^2(\theta /2)=1$ что является тождеством, следовательно, мы можем найти численное значение угла.

9. Конечный результат:

   • Решая это уравнение, получаем $\theta ={90}^{\circ }$, поскольку именно при этом значении расстояния удовлетворяют условиям задачи.

Таким образом, величина двугранного угла составляет $90$ градусов.