Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 равна 30, AB:A1A:AD=4:1:5. Найдите...

Наибольшая диагональ грани параллелепипеда равна 13.

Для того чтобы найти наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда, нужно воспользоваться теоремой Пифагора.

Обозначим длины сторон параллелепипеда следующим образом: AB = 4x, A1A = x, AD = 5x. Так как сумма длин трех измерений равна 30, то 4x + x + 5x = 30, откуда получаем, что x = 3.

Теперь можем найти длину наибольшей диагонали грани параллелепипеда. Рассмотрим треугольник A1BD1. По теореме Пифагора, длина диагонали грани равна корню из суммы квадратов катетов: BD1 = √(A1B^2 + AD1^2). Подставляем значения и получаем BD1 = √((43)^2 + (53)^2) = √(144 + 225) = √369 = 3√41.

Таким образом, наибольшая диагональ грани параллелепипеда равна 3√41.

Для решения задачи введём обозначения для длин рёбер прямоугольного параллелепипеда (ABCD) и (A_1B_1C_1D_1). Пусть (AB = x), (AD = y), и (A_1A = z).

Согласно условию, сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда равна 30: [ x + y + z = 30 ]

Также дано соотношение: [ AB : A_1A : AD = 4 : 1 : 5 ]

Это означает, что: [ x : z : y = 4 : 1 : 5 ]

Пусть (k) - общий множитель для этих пропорций. Тогда можно записать: [ x = 4k ] [ z = k ] [ y = 5k ]

Подставим эти выражения в уравнение суммы длин: [ 4k + k + 5k = 30 ] [ 10k = 30 ] [ k = 3 ]

Теперь найдём значения (x), (y) и (z): [ x = 4k = 4 \cdot 3 = 12 ] [ z = k = 3 ] [ y = 5k = 5 \cdot 3 = 15 ]

Теперь нужно найти наибольшую из диагоналей граней прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим диагонали каждой из граней:

1. На грани (ABCD) с размерами (x) и (y): [ \text{Диагональ} = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19.21 ]

2. На грани (A_1B_1C_1D_1) с размерами (x) и (y), аналогично первой: [ \text{Диагональ} = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{369} \approx 19.21 ]

3. На грани (ABEA_1) с размерами (x) и (z): [ \text{Диагональ} = \sqrt{x^2 + z^2} = \sqrt{12^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153} \approx 12.37 ]

4. На грани (BCF_1B_1) с размерами (y) и (z): [ \text{Диагональ} = \sqrt{y^2 + z^2} = \sqrt{15^2 + 3^2} = \sqrt{225 + 9} = \sqrt{234} \approx 15.30 ]

Таким образом, наибольшая диагональ среди всех граней прямоугольного параллелепипеда равна (\sqrt{369}), что приблизительно равно (19.21).