Сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 равна 30, AB:A1A:AD=4:1:5. Найдите...

Наибольшая диагональ грани параллелепипеда равна 13.

Для того чтобы найти наибольшую из диагоналей граней параллелепипеда, нужно воспользоваться теоремой Пифагора.

Обозначим длины сторон параллелепипеда следующим образом: AB = 4x, A1A = x, AD = 5x. Так как сумма длин трех измерений равна 30, то 4x + x + 5x = 30, откуда получаем, что x = 3.

Теперь можем найти длину наибольшей диагонали грани параллелепипеда. Рассмотрим треугольник A1BD1. По теореме Пифагора, длина диагонали грани равна корню из суммы квадратов катетов: BD1 = √$A1B^2+AD{1}^2$. Подставляем значения и получаем BD1 = √((43)^2 + (53)^2) = √$144+225$ = √369 = 3√41.

Таким образом, наибольшая диагональ грани параллелепипеда равна 3√41.

Для решения задачи введём обозначения для длин рёбер прямоугольного параллелепипеда $ABCD$ и $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Пусть $AB=x$, $AD=y$, и $A_{1}A=z$.

Согласно условию, сумма длин трёх измерений прямоугольного параллелепипеда равна 30: $x+y+z=30$

Также дано соотношение: $AB:A_{1}A:AD=4:1:5$

Это означает, что: $x:z:y=4:1:5$

Пусть $k$ - общий множитель для этих пропорций. Тогда можно записать: $x=4k$ $z=k$ $y=5k$

Подставим эти выражения в уравнение суммы длин: $4k+k+5k=30$ $10k=30$ $k=3$

Теперь найдём значения $x$, $y$ и $z$: $x=4k=4\cdot 3=12$ $z=k=3$ $y=5k=5\cdot 3=15$

Теперь нужно найти наибольшую из диагоналей граней прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим диагонали каждой из граней:

1. На грани $ABCD$ с размерами $x$ и $y$: $\text{Диагональ}=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{12}^2+{15}^2}=\sqrt{144+225}=\sqrt{369}\approx 19.21$

2. На грани $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ с размерами $x$ и $y$, аналогично первой: $\text{Диагональ}=\sqrt{{12}^2+{15}^2}=\sqrt{369}\approx 19.21$

3. На грани $ABE{A}_1$ с размерами $x$ и $z$: $\text{Диагональ}=\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{{12}^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}\approx 12.37$

4. На грани $BC{F}_1{B}_1$ с размерами $y$ и $z$: $\text{Диагональ}=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{{15}^2+3^2}=\sqrt{225+9}=\sqrt{234}\approx 15.30$

Таким образом, наибольшая диагональ среди всех граней прямоугольного параллелепипеда равна $\sqrt{369}$, что приблизительно равно $19.21$.