Стороны треугольника равны 3 см, 7 см и 8 см. Найдите угол треугольника, противолежащий стороне, равной...

Чтобы найти угол треугольника, противолежащий стороне длиной 7 см, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема связывает стороны треугольника и косинус угла следующим образом:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C), ]

где:

• ( c ) — сторона, противолежащая углу ( C ),
• ( a ) и ( b ) — две другие стороны треугольника,
• ( \cos(C) ) — косинус угла ( C ).

В нашем случае:

• ( c = 7 ) см (сторона, противолежащая углу ( C )),
• ( a = 3 ) см,
• ( b = 8 ) см.

Подставим данные в формулу:

[ 7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(C). ]

Выполним вычисления:

[ 49 = 9 + 64 - 48 \cdot \cos(C), ] [ 49 = 73 - 48 \cdot \cos(C). ]

Теперь выразим ( \cos(C) ):

[ 48 \cdot \cos(C) = 73 - 49, ] [ 48 \cdot \cos(C) = 24, ] [ \cos(C) = \frac{24}{48} = 0.5. ]

Косинус угла ( C ) равен 0.5. Теперь найдём сам угол ( C ).

[ C = \arccos(0.5). ]

Значение ( \arccos(0.5) ) известно: это угол ( 60^\circ ) (или ( \frac{\pi}{3} ) радиан).

Ответ:

Угол треугольника, противолежащий стороне длиной 7 см, равен ( 60^\circ ).

Проверка:

Можно убедиться, что в данном треугольнике выполнено неравенство треугольника (сумма двух сторон больше третьей), а значит, он существует:

• ( 3 + 7 = 10 > 8 ),
• ( 3 + 8 = 11 > 7 ),
• ( 7 + 8 = 15 > 3 ).

Следовательно, всё корректно, и треугольник существует.

Для нахождения угла треугольника, противолежащего стороне, равной 7 см, мы можем использовать закон косинусов. Закон косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами (a), (b), и (c) и углом (\gamma) противолежащим стороне (c), выполняется следующая формула:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

В нашем случае:

• (a = 3) см (сторона, равная 3 см),
• (b = 8) см (сторона, равная 8 см),
• (c = 7) см (сторона, противолежащая углу, который мы хотим найти).

Подставим данные в формулу:

[ 7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(\gamma) ]

Посчитаем квадрат сторон:

[ 49 = 9 + 64 - 48 \cdot \cos(\gamma) ]

Теперь упрощаем уравнение:

[ 49 = 73 - 48 \cdot \cos(\gamma) ]

Переносим 73 на левую сторону:

[ 49 - 73 = -48 \cdot \cos(\gamma) ]

[ -24 = -48 \cdot \cos(\gamma) ]

Теперь делим обе стороны на -48:

[ \cos(\gamma) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} ]

Теперь найдем угол (\gamma):

[ \gamma = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ]

Зная, что (\cos) равен (\frac{1}{2}) при угле (60^\circ), получаем:

[ \gamma = 60^\circ ]

Таким образом, угол треугольника, противолежащий стороне, равной 7 см, равен (60^\circ).

Для нахождения угла, противолежащего стороне 7 см, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Согласно теореме косинусов:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]

где:

• (c) — сторона, противолежащая углу (C) (в нашем случае 7 см),
• (a) и (b) — две другие стороны (3 см и 8 см).

Подставим значения:

[ 7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(C) ]

Это уравнение становится:

[ 49 = 9 + 64 - 48 \cdot \cos(C) ]

Упрощаем:

[ 49 = 73 - 48 \cdot \cos(C) ]

Переносим 73 в левую часть:

[ 48 \cdot \cos(C) = 73 - 49 ]

[ 48 \cdot \cos(C) = 24 ]

Теперь делим на 48:

[ \cos(C) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, угол (C) равен:

[ C = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ]

Угол, противолежащий стороне 7 см, равен 60 градусов.