Стороны треугольника 4 см, 13 см и 15 см.Знайты радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности...

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по формуле: R = abc / 4S, где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника (p = (a+b+c)/2). Для нашего треугольника с сторонами 4 см, 13 см и 15 см, полупериметр равен p = (4+13+15)/2 = 16 см. Площадь треугольника S = sqrt(16(16-4)(16-13)(16-15)) = sqrt(161231) = sqrt(768) = 8√3 см^2. Теперь можем найти радиус описанной окружности: R = 41315 / (48√3) = 195 / (32√3) = 195 / (32*1.73) ≈ 3.57 см.

Радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр. Для нашего треугольника r = 8√3 / 16 = √3 / 2 ≈ 0.87 см.

Чтобы найти высоту, проведенную к меньшей стороне треугольника, можно воспользоваться формулой для площади треугольника: S = 0.5 a h, где a - меньшая сторона треугольника, h - высота, проведенная к данной стороне. Для нашего треугольника S = 8√3 и a = 4, поэтому h = 2√3 / 3 ≈ 1.15 см.

Для решения задачи найдем последовательно радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и высоту, проведенную к меньшей стороне треугольника.

1. Проверка на прямоугольный треугольник

Сначала проверим, является ли данный треугольник прямоугольным. Для этого используем теорему Пифагора:

[ c^2 = a^2 + b^2 ]

где ( c ) — гипотенуза, а ( a ) и ( b ) — катеты. В данном случае ( c = 15 ), ( a = 13 ) и ( b = 4 ).

[ 15^2 = 13^2 + 4^2 \ 225 = 169 + 16 \ 225 = 225 ]

Треугольник действительно прямоугольный.

2. Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ( R ) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:

[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{см} ]

3. Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) для любого треугольника можно найти по формуле:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр треугольника.

Полупериметр:

[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16 \, \text{см} ]

Площадь:

Площадь прямоугольного треугольника:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 13 = 26 \, \text{см}^2 ]

Радиус вписанной окружности:

[ r = \frac{26}{16} = 1.625 \, \text{см} ]

4. Высота, проведенная к меньшей стороне

Высота ( h ), проведенная к меньшей стороне (4 см), может быть найдена из формулы площади:

[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ]

где основание — меньшая сторона, то есть 4 см.

[ 26 = \frac{1}{2} \times 4 \times h ]

Решая уравнение относительно ( h ):

[ h = \frac{26 \times 2}{4} = 13 \, \text{см} ]

Вывод

• Радиус описанной окружности: ( 7.5 \, \text{см} )
• Радиус вписанной окружности: ( 1.625 \, \text{см} )
• Высота, проведенная к меньшей стороне: ( 13 \, \text{см} )

Радиус описанной окружности - 7.5 см, радиус вписанной окружности - 2 см, высота проведенная к меньшей стороне - 3.6 см.