Стороны треугольника 20, 11, 13(см). Найти радиус вписанной окружности.

Для вычисления радиуса вписанной окружности треугольника воспользуемся следующим шагами и формулой.

Формула для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) можно найти по формуле: [ r = \frac{S}{p}, ] где:

• ( S ) — площадь треугольника,
• ( p ) — полупериметр треугольника.

Шаг 1: Найдем полупериметр

Полупериметр треугольника можно найти по формуле: [ p = \frac{a + b + c}{2}, ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника.

Подставим значения: [ p = \frac{20 + 11 + 13}{2} = \frac{44}{2} = 22 \, \text{см}. ]

Шаг 2: Проверим, существует ли треугольник

Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей. Проверим:

• ( 20 + 11 = 31 > 13 ),
• ( 20 + 13 = 33 > 11 ),
• ( 11 + 13 = 24 > 20 ).

Все условия выполнены, треугольник существует.

Шаг 3: Найдем площадь треугольника

Площадь треугольника ( S ) можно вычислить по формуле Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( p ) — его полупериметр.

Подставим значения: [ S = \sqrt{22(22 - 20)(22 - 11)(22 - 13)}. ] Выполним вычисления внутри скобок: [ S = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 9}. ] Упростим произведение: [ S = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 99} = \sqrt{4356}. ] Извлечем корень: [ S = 66 \, \text{см}^2. ]

Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности

Теперь подставим значения ( S = 66 \, \text{см}^2 ) и ( p = 22 \, \text{см} ) в формулу радиуса: [ r = \frac{S}{p} = \frac{66}{22} = 3 \, \text{см}. ]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен ( \mathbf{3 \, \text{см}} ).

Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника, можно использовать формулу:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( r ) — радиус вписанной окружности, ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр.

1. Находим полупериметр ( p ):

Сначала найдем периметр треугольника:

[ P = a + b + c = 20 + 11 + 13 = 44 \text{ см} ]

Полупериметр ( p ) равен половине периметра:

[ p = \frac{P}{2} = \frac{44}{2} = 22 \text{ см} ]

1. Находим площадь ( S ):

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

Здесь ( a = 20 \text{ см}, b = 11 \text{ см}, c = 13 \text{ см} ). Подставляем значения:

[ S = \sqrt{22(22-20)(22-11)(22-13)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 9} ]

Теперь вычислим:

[ S = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 9} = \sqrt{22 \cdot 2} \cdot \sqrt{11 \cdot 9} = \sqrt{44} \cdot \sqrt{99} ]

Вычисляем:

[ S = \sqrt{44} \cdot \sqrt{99} = \sqrt{4356} = 66 \text{ см}^2 ]

1. Находим радиус вписанной окружности ( r ):

Теперь подставим значения ( S ) и ( p ) в формулу для радиуса:

[ r = \frac{S}{p} = \frac{66}{22} = 3 \text{ см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 20 см, 11 см и 13 см равен ( 3 ) см.

Чтобы найти радиус вписанной окружности треугольника, можно использовать формулу:

[ r = \frac{S}{p} ]

где ( r ) — радиус вписанной окружности, ( S ) — площадь треугольника, ( p ) — полупериметр.

Сначала найдем полупериметр:

[ p = \frac{20 + 11 + 13}{2} = 22 \, \text{см} ]

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

где ( a = 20 ), ( b = 11 ), ( c = 13 ).

Подставим значения:

[ S = \sqrt{22(22-20)(22-11)(22-13)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 9} = \sqrt{396 \cdot 11} = \sqrt{4356} = 66 \, \text{см}^2 ]

Теперь можем найти радиус вписанной окружности:

[ r = \frac{S}{p} = \frac{66}{22} = 3 \, \text{см} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 3 см.