Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Плоскости боковых граней наклонены...

Полная поверхность пирамиды равна сумме площадей всех её граней. Для нахождения полной поверхности пирамиды нужно вычислить площади основания и боковых граней, а затем сложить их.

Для того чтобы найти полную поверхность треугольной пирамиды, нужно определить площадь основания и площади всех боковых граней.

Шаг 1: Площадь основания

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 14 см. Для нахождения его площади удобно использовать формулу Герона:

[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

где ( a = 6 ) см, ( b = 10 ) см, ( c = 14 ) см, а ( p ) – полупериметр треугольника:

[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 10 + 14}{2} = 15 \text{ см} ]

Теперь подставим значения в формулу Герона:

[ S = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{675} \approx 25.98 \text{ см}^2 ]

Шаг 2: Высоты боковых граней

Плоскости боковых граней наклонены к основанию под углом 60 градусов. Это значит, что высота каждой боковой грани (( h )) связана с апофемой (( l )) этой грани через треугольники, образованные высотой пирамиды и апофемой.

Используем тригонометрическое соотношение:

[ h = l \cdot \sin(60^\circ) = l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Апофема (( l )) – это высота треугольника, который является боковой гранью пирамиды. Чтобы найти ( h ), нам сначала нужно найти высоты всех боковых треугольников.

Шаг 3: Площади боковых граней

Для нахождения площадей боковых граней, необходимо найти длины высот, опущенных на стороны основания. Для этого можно использовать формулу для высоты треугольника:

[ h = \frac{2S}{a} ]

где ( S ) – площадь треугольника, ( a ) – сторона основания.

Высота, опущенная на сторону ( a = 6 ) см:

[ h_a = \frac{2 \cdot 25.98}{6} \approx 8.66 \text{ см} ]

Высота, опущенная на сторону ( b = 10 ) см:

[ h_b = \frac{2 \cdot 25.98}{10} \approx 5.20 \text{ см} ]

Высота, опущенная на сторону ( c = 14 ) см:

[ h_c = \frac{2 \cdot 25.98}{14} \approx 3.71 \text{ см} ]

Шаг 4: Площадь боковых граней

Теперь можно найти площади боковых граней. Площадь боковой грани – это площадь треугольника с одной из сторон основания и высотой, найденной выше.

Грань с основанием 6 см:

[ S_{боковая1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8.66 \approx 25.98 \text{ см}^2 ]

Грань с основанием 10 см:

[ S_{боковая2} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5.20 \approx 25.98 \text{ см}^2 ]

Грань с основанием 14 см:

[ S_{боковая3} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 3.71 \approx 25.98 \text{ см}^2 ]

Шаг 5: Полная поверхность пирамиды

Теперь можно сложить площади всех граней:

[ S{\text{полная}} = S{\text{основание}} + S{\text{боковая1}} + S{\text{боковая2}} + S_{\text{боковая3}} ]

[ S_{\text{полная}} = 25.98 + 25.98 + 25.98 + 25.98 = 103.92 \text{ см}^2 ]

Таким образом, полная поверхность пирамиды составляет приблизительно ( 103.92 \text{ см}^2 ).

Для расчета полной поверхности треугольной пирамиды нам необходимо найти площади боковых граней и основания, а затем сложить их все вместе.

1. Найдем площадь основания пирамиды. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по трем сторонам - формула Герона. Полупериметр треугольника равен (6 + 10 + 14) / 2 = 15 см. Площадь основания равна S = √(p(p - 6)(p - 10)(p - 14)), где p - полупериметр. Подставляем значения и получаем S = √(15(15 - 6)(15 - 10)(15 - 14)) = √(15 9 5 * 1) = √675 = 25√3 см².

2. Найдем площадь боковой грани пирамиды. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по двум сторонам и углу между ними - S = 0.5 a b sin(γ), где a и b - стороны треугольника, γ - угол между ними. Подставляем значения и получаем S = 0.5 6 10 sin(60°) = 30√3 см².

3. Так как у пирамиды 4 боковые грани, то общая площадь боковых граней равна 4 * 30√3 = 120√3 см².

Итак, общая площадь поверхности треугольной пирамиды равна площади основания плюс площадь боковых граней: 25√3 + 120√3 = 145√3 см².