Стороны АВ,ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М ,К и Р соответственно...

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами касательных к окружности.

Известно, что при касании касательной и радиус окружности перпендикулярны в точке касания. Это значит, что отрезки, проведенные от центра окружности к точкам касания, будут радиусами окружности.

Поэтому мы можем построить радиусы окружности к точкам касания и получим треугольник OMK, OCK и OAR, где O - центр окружности.

Так как OMK - прямоугольный треугольник, то можем воспользоваться теоремой Пифагора: OK^2 = OM^2 + MK^2 OK^2 = 4^2 + 6^2 OK = √(16 + 36) = √52 см

OC = OK + KC = √52 + 6 = √52 + 6 см

OA = OK + AR = √52 + 8 см

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника ABC, зная что это радиусы окружности: AB = 2 √52 = 2√52 см BC = 2 6 = 12 см AC = 2 * 8 = 16 см

И, наконец, периметр треугольника ABC: P = AB + BC + AC = 2√52 + 12 + 16 = 2√52 + 28 см.

Чтобы найти периметр треугольника ( \triangle ABC ), нам нужно воспользоваться свойствами вписанной окружности. Например, если окружность вписана в треугольник, то отрезки касательных, проведённых из одной вершины к точкам касания, равны.

В данном случае это означает:

1. ( BM = BP = 4 \, \text{см} ) (так как ( B ) — это точка, из которой проведены касательные ( BM ) и ( BP ) к окружности).
2. ( CK = CP = 6 \, \text{см} ).
3. ( AR = AM = 8 \, \text{см} ).

С помощью этих равенств мы можем выразить длины сторон треугольника:

• Сторона ( AB = AM + BM = 8 + 4 = 12 \, \text{см} ).
• Сторона ( BC = BK + CK = 4 + 6 = 10 \, \text{см} ).
• Сторона ( CA = CP + AP = 6 + 8 = 14 \, \text{см} ).

Теперь можем найти периметр ( P ) треугольника ( \triangle ABC ):

[ P = AB + BC + CA = 12 + 10 + 14 = 36 \, \text{см}. ]

Таким образом, периметр треугольника ( \triangle ABC ) равен 36 см.