Сторона треугольника равна 5√6 см,а углы ,прилежащие к ней 15° и 45°.Найдите среднюю сторону этого треугольника

Для нахождения средней стороны треугольника, касающейся углов в 15° и 45°, можно воспользоваться формулой косинусов.

Пусть средняя сторона треугольника равна а. Тогда по формуле косинусов:

а^2 = $5\surd 6$^2 + $5\surd 6$^2 - 2 5√6 5√6 * cos$45°$

а^2 = 180 + 180 - 2 30 cos$45°$

а^2 = 360 - 60 * cos$45°$

а^2 = 360 - 60 * $1/\surd 2$

а^2 = 360 - 60√2

а = √$360-60\surd 2$

Таким образом, средняя сторона треугольника равна √$360-60\surd 2$ см.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения стороны треугольника через известную сторону и прилежащие углы, используя теорему синусов. Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношения длин сторон к синусам противолежащих углов равны, т.е. $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, где $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, а $A$, $B$, $C$ - противолежащие этим сторонам углы.

Дан треугольник со стороной $a=5\sqrt{6}$ см и прилежащими углами 15° и 45°. Третий угол треугольника находим, зная что сумма углов в треугольнике равна 180°: $C=180°-15°-45°=120°.$

Используем теорему синусов, чтобы найти другие стороны. Пусть $b$ - сторона, противолежащая углу 45°, а $c$ - сторона, противолежащая углу 15°. Тогда: $\frac{5\sqrt{6}}{\sin 120°}=\frac{b}{\sin 45°}=\frac{c}{\sin 15°}.$

Считаем синусы: $\sin 120°=\sin (180°-60°)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2},$ $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\sin 15°=\sin (45°-30°)=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

Решаем для $b$: $b=\frac{5\sqrt{6}\cdot \sin 45°}{\sin 120°}=\frac{5\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{12}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.$

Аналогично, решаем для $c$: $c=\frac{5\sqrt{6}\cdot \sin 15°}{\sin 120°}=\frac{5\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{5(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6}.$

Из полученных результатов видно, что $b$ равно $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см, и это будет средняя сторона треугольника по длине, так как $c$ будет меньше $b$.