Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6, а боковое ребро образует с плоскостью основания...

Для того чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, вам понадобится формула:

[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h, ]

где ( S_{\text{осн}} ) — площадь основания пирамиды, а ( h ) — высота пирамиды.

1. Сначала найдем площадь основания ( S_{\text{осн}} ). Так как основание пирамиды — правильный треугольник, его площадь можно найти по формуле:

[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2, ]

где ( a ) — длина стороны треугольника. Подставляя ( a = 6 ):

[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}. ]

1. Теперь найдем высоту пирамиды ( h ). Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов, это означает, что высота пирамиды ( h ) равна радиусу вписанной окружности в основание. Высота ( h ) равна боковому ребру ( l ) умноженному на синус угла между боковым ребром и плоскостью основания:

[ h = l \sin 45^\circ. ]

Длина бокового ребра ( l ) равна высоте равностороннего треугольника, вычисленной по формуле:

[ l = \frac{\sqrt{3}}{2} a. ]

С подставленным значением ( a = 6 ):

[ l = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}. ]

Следовательно,

[ h = 3\sqrt{3} \sin 45^\circ = 3\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}. ]

1. Теперь подставим ( S_{\text{осн}} ) и ( h ) в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{27\sqrt{18}}{2} = \frac{27\sqrt{18}}{6} = \frac{27 \times 3\sqrt{2}}{6} = 13.5\sqrt{2}. ]

Таким образом, объем пирамиды равен ( 13.5\sqrt{2} ) кубических единиц.

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нужно использовать формулу:

V = (1/3) S h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания треугольной пирамиды. Так как основание правильное треугольное, то его площадь можно найти по формуле:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4,

где a - длина стороны основания. Подставляем a = 6:

S = (6^2 sqrt(3)) / 4 = 9 sqrt(3).

Теперь найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды, его высотой и половиной стороны основания. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусам, то мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты:

h = a * sin(45),

где a - длина стороны основания. Подставляем a = 6:

h = 6 sin(45) = 6 sqrt(2) / 2 = 3 * sqrt(2).

Теперь подставляем найденные значения S = 9 sqrt(3) и h = 3 sqrt(2) в формулу для объема:

V = (1/3) (9 sqrt(3)) (3 sqrt(2)) = 27 * sqrt(6).

Итак, объем правильной треугольной пирамиды равен 27 * sqrt(6) кубических единиц.