Сторона основания правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды...

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам необходимо вычислить площадь основания и площадь всех боковых граней.

1. Площадь основания.

Основание правильной треугольной пирамиды — это правильный треугольник. Для правильного треугольника со стороной ( a = 3 ) см площадь ( A ) можно найти по формуле:

[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Подставим значение стороны:

[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2 ]

1. Площадь боковых граней.

Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник. Поскольку угол между боковой гранью и основанием равен 45°, высота боковой грани (опущенная из вершины пирамиды на основание) будет равна радиусу описанной окружности основания, умноженному на (\sqrt{2}). Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной ( a ) равен:

[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Подставим значение стороны:

[ R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} ]

Следовательно, высота боковой грани ( h ) будет:

[ h = R \cdot \sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} ]

Теперь найдем площадь одной боковой грани ( A_b ). Поскольку боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 3 см и высотой ( \sqrt{6} ), площадь ( A_b ) равна:

[ A_b = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{см}^2 ]

Так как у пирамиды три одинаковые боковые грани, общая площадь боковых граней ( A_{total} ) будет:

[ A_{total} = 3 \times \frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{9\sqrt{6}}{2} \, \text{см}^2 ]

1. Площадь полной поверхности.

Полная площадь поверхности пирамиды ( S ) равна сумме площадей основания и боковых граней:

[ S = A + A_{total} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{6}}{2} ]

Для удобства можно оставить ответ в таком виде, либо привести к общему знаменателю, но это уже зависит от требований задачи.

Для того чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нужно сначала найти боковую грань пирамиды.

Так как угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов, то треугольник, образованный боковой гранью и стороной основания, является прямым. Поэтому длина боковой грани равна гипотенузе этого прямоугольного треугольника.

Так как сторона основания равна 3 см, то по теореме Пифагора длина боковой грани равна sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3sqrt(2) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на длину боковой грани: Sбок = 1/2 3 3sqrt(2) = 9sqrt(2) см^2.

Площадь основания равна Sосн = (3^2 sqrt(3))/4 = 9 sqrt(3)/4 см^2.

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и боковой поверхности: Sполн = Sосн + Sбок = 9 * sqrt(3)/4 + 9sqrt(2) ≈ 15,88 см^2.

Надеюсь, что мой ответ помог вам решить задачу.