Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8, а её боковое ребро образует с плоскостью...

Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды необходимо знать формулу объема пирамиды, которая выглядит следующим образом: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Поскольку у нас дана правильная треугольная пирамида, основание которой является равносторонним треугольником, то площадь основания можно найти по формуле S = (a^2 * sqrt(3))/4, где a - длина стороны основания.

Из условия задачи известно, что сторона основания треугольника равна 8, поэтому S = (8^2 sqrt(3))/4 = 16 sqrt(3).

Далее, для нахождения высоты пирамиды h мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания прямой угол. Таким образом, мы можем разделить боковое ребро на две составляющие: высоту пирамиды h и отрезок, который проведен от вершины пирамиды до середины стороны основания (этот отрезок равен половине длины стороны основания треугольника, т.е. 4).

Таким образом, по теореме Пифагора получаем: h = sqrt((bokovoe_rebro)^2 - (storona_osnovaniya/2)^2) = sqrt(8^2 - 4^2) = sqrt(64 - 16) = sqrt(48) = 4sqrt(3).

Теперь подставим полученные значения S = 16 sqrt(3) и h = 4 sqrt(3) в формулу объема пирамиды: V = (1/3) 16 sqrt(3) 4 sqrt(3) = (1/3) 64 3 = 64.

Итак, объем данной правильной треугольной пирамиды равен 64 кубическим единицам.

Объём правильной треугольной пирамиды равен 32√2.

Для нахождения объёма правильной треугольной пирамиды, нам потребуется использовать известные данные: сторона основания и угол между боковым ребром и плоскостью основания.

1. Определение высоты пирамиды:

   Поскольку боковое ребро образует угол в (45^\circ) с плоскостью основания, мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса для нахождения высоты пирамиды. Пусть (S) — вершина пирамиды, (O) — центр основания (который является равносторонним треугольником (\triangle ABC) со стороной 8), и (SO) — высота пирамиды. Боковое ребро (SA) образует угол (45^\circ) с плоскостью основания.

   [ \cos 45^\circ = \frac{SO}{SA} ]

   Отсюда получаем:

   [ SO = SA \cdot \cos 45^\circ = SA \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

   Чтобы найти (SA), нам нужно определить центр основания (O) и выразить (SA) через известные элементы.

2. Центр основания:

   В правильном треугольнике центр описанной окружности, точка (O), является также центром тяжести и совпадает с точкой пересечения медиан. Формула для нахождения медианы равностороннего треугольника (m) через сторону (a) известна:

   [ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3} ]

   (O) находится на расстоянии ( \frac{2}{3} ) от вершины медианы к основанию, поэтому:

   [ AO = \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} ]

3. Определение бокового ребра:

   Из треугольника (SAO), где (AO = \frac{8\sqrt{3}}{3}) и угол ( \angle SAO = 45^\circ), можем выразить (SA):

   [ \sin 45^\circ = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{SA} ]

   [ SA = \frac{8\sqrt{3}}{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{6}}{3} ]

4. Высота пирамиды (SO):

   Подставим (SA) в уравнение для (SO):

   [ SO = \frac{8\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{12}}{6} = \frac{8 \cdot 2\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3} ]

5. Вычисление объёма:

   Площадь основания равностороннего треугольника:

   [ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = 16\sqrt{3} ]

   Объём пирамиды:

   [ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \frac{8 \cdot 3}{3} = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 8 = \frac{128}{3} ]

Таким образом, объём правильной треугольной пирамиды равен (\frac{128}{3}).