Сторона AB треугольника ABC равна 16 см, угол A=30 градусов, угол B=105 градусов. ЗАДАНИЯ: 1) Вычислите...

Для решения заданий по треугольнику ABC, где сторона AB = 16 см, угол A = 30 градусов, и угол B = 105 градусов, можно использовать основные теоремы тригонометрии. Давайте разберемся с каждым заданием по порядку.

1) Вычислите длину стороны BC

Сначала найдем третий угол треугольника, угол C, используя правило суммы углов в треугольнике:

[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ ]

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, используем теорему синусов. Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных им углов:

[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} ]

Нам нужно найти BC, поэтому используем следующую пропорцию:

[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{16}{\sin 45^\circ} ]

Зная, что (\sin 30^\circ = 0.5) и (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), уравнение примет вид:

[ \frac{BC}{0.5} = \frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим правую часть уравнения:

[ \frac{BC}{0.5} = \frac{16 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2} ]

Теперь умножим обе части уравнения на 0.5:

[ BC = 16\sqrt{2} \times 0.5 = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ см} ]

2) Найдите меньшую сторону треугольника

Чтобы найти меньшую сторону треугольника, нужно рассчитать длину третьей стороны AC и сравнить ее с другими сторонами.

Используем теорему синусов для стороны AC:

[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{16}{\sin 45^\circ} ]

Зная, что (\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ = \cos 15^\circ \approx 0.9659), уравнение примет вид:

[ \frac{AC}{0.9659} = \frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим правую часть:

[ \frac{AC}{0.9659} = \frac{16 \times 2}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2} ]

Теперь умножим обе части уравнения на 0.9659:

[ AC = 16\sqrt{2} \times 0.9659 \approx 21.86 \text{ см} ]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

• AB = 16 см
• BC = 8\sqrt{2} \approx 11.31 см
• AC \approx 21.86 см

Самая малая сторона треугольника - это BC, примерно равная 11.31 см.

Ответы:

1. Длина стороны BC ≈ 11.31 см
2. Меньшая сторона треугольника - BC ≈ 11.31 см

1) Длина стороны BC равна 16 см 2) Меньшая сторона треугольника - AB, длина которой равна 16 см

1) Для вычисления длины стороны BC воспользуемся теоремой косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC cos(B) BC^2 = 16^2 + AC^2 - 2 16 AC cos(105) BC^2 = 256 + AC^2 - 32 AC (-0.258819) BC^2 = 256 + AC^2 + 8.284608AC

Также зная, что угол A = 30 градусов, можем использовать теорему синусов: AC / sin(30) = 16 / sin(C) AC = 16 * sin(30) / sin(C)

Подставляем полученное значение AC в уравнение для BC и решаем полученное квадратное уравнение.

2) Для нахождения меньшей стороны треугольника нужно выяснить, какие стороны противолежат углу, который меньше. В данном случае угол A = 30 градусов, следовательно, сторона AB будет меньшей стороной треугольника.