Середина M основания AD трапеции ABCD равноудалена от концов другого основания. Докажите, что трапеция...

Для доказательства равнобедренности трапеции ABCD воспользуемся теоремой о равенстве двух треугольников.

Пусть точка M - середина основания AD, тогда AM = MD.

Так как M равноудалена от концов другого основания, то MB = MC.

Рассмотрим треугольники AMB и CDM. У них равны стороны AM = MD, MB = MC и углы AMB и CDM, так как они соответственные вертикальные углы.

По теореме о равенстве двух треугольников треугольники AMB и CDM равны.

Отсюда следует, что у треугольника AMB углы A и B равны углам C и D треугольника CDM и соответственно стороны AB и CD равны. Таким образом, трапеция ABCD равнобедренная.

Давайте рассмотрим трапецию (ABCD), где (AD) и (BC) — её основания, причем (AD) является нижним основанием. Нам дано, что точка (M), середина основания (AD), равноудалена от концов другого основания (BC). То есть, расстояния от (M) до (B) и от (M) до (C) равны: (MB = MC).

Наша задача — доказать, что трапеция (ABCD) является равнобедренной, то есть (AB = CD).

Доказательство:

1. Рассмотрим свойства трапеции и среднюю линию:

   Поскольку (M) — середина отрезка (AD), она лежит на средней линии трапеции, которая параллельна основаниям (AD) и (BC). Средняя линия проходит через середины боковых сторон трапеции.

2. Свойство равноудаленности:

   Из условия (MB = MC) следует, что точка (M) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (BC). Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.

3. Сравнение треугольников:

   Рассмотрим треугольники (AMB) и (CMD):

   • (AM = MD) (так как (M) — середина (AD)),
   • (MB = MC) по условию,
   • Углы (\angle AMB) и (\angle CMD) равны, так как (AB \parallel CD) (средняя линия параллельна основаниям).

   Таким образом, треугольники (AMB) и (CMD) равны по первой теореме о равенстве треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Следствие из равенства треугольников:

   Из равенства треугольников (AMB) и (CMD) следует, что их соответствующие элементы равны, в частности:

   • (AB = CD).

Таким образом, мы доказали, что трапеция (ABCD) является равнобедренной.

Пусть E и F - середины сторон AB и CD соответственно. Так как M равноудалена от точек A и D, то треугольники AME и DFM равны по стороне AM = MD и общей стороне ME = MF. Следовательно, углы AME и DFM равны. Но углы AME и DFM дополняют друг друга до прямого угла, так как EF - средняя линия трапеции ABCD. Значит, треугольники AME и DFM прямоугольные, а значит, AM = ME = MF = MD. Таким образом, трапеция ABCD равнобедренная.