Щебень укладывается в кучу , имеющую форму конуса с углом откоса 30°. Какой высоты должна быть куча...

Чтобы найти высоту кучи щебня в форме конуса, зная объем и угол откоса, нужно использовать формулу объема конуса и геометрические соотношения.

Формула объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, ]

где ( V ) — объем конуса, ( r ) — радиус основания, ( h ) — высота конуса.

Угол откоса:

Угол откоса в 30° определяет соотношение между высотой и радиусом. Если угол откоса α, то тангенс этого угла равен отношению высоты к радиусу основания:

[ \tan(\alpha) = \frac{h}{r}. ]

Для угла 30°, (\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577). Таким образом,

[ \frac{h}{r} = \frac{1}{\sqrt{3}}. ]

Отсюда следует, что

[ h = r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}. ]

Подставим это в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \left( r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \right). ]

Упростим выражение:

[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \pi r^3. ]

Теперь подставим ( V = 10 ) м³ и решим уравнение для ( r ):

[ 10 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \pi r^3. ]

[ 10 = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} r^3. ]

Умножим обе стороны уравнения на ( \frac{3\sqrt{3}}{\pi} ):

[ r^3 = \frac{30\sqrt{3}}{\pi}. ]

Теперь найдем ( r ):

[ r = \sqrt[3]{\frac{30\sqrt{3}}{\pi}}. ]

Теперь, зная ( r ), найдем ( h ):

[ h = r \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}. ]

Подставим значение ( r ):

[ h = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{30\sqrt{3}}{\pi}}. ]

Для получения численного значения, потребуется воспользоваться калькулятором:

1. Найдем приближенное значение для ( r ):

   [ r \approx \sqrt[3]{\frac{30\sqrt{3}}{\pi}} \approx \sqrt[3]{16.68} \approx 2.56 \, \text{м}. ]

2. Найдем ( h ):

   [ h \approx \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 2.56 \approx 1.48 \, \text{м}. ]

Таким образом, высота кучи щебня должна быть приблизительно 1.48 метра.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу объема конуса:

V = (1/3) π r^2 * h

Где V - объем конуса, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

У нас дан угол откоса конуса, который равен 30°. Это означает, что у нас равнобедренный треугольник с углом при основании равным 30°. Таким образом, у нас имеется равнобедренный треугольник, в котором два угла при основании равны 30°, что означает, что основание треугольника является правильным шестиугольником.

Для правильного шестиугольника угол в вершине равен 120°, что означает, что у нас получается равносторонний треугольник внутри конуса.

Таким образом, мы можем использовать формулу для объема равностороннего треугольника:

V = (1/3) √3/4 a^2 * h

Где V - объем треугольника, a - длина стороны треугольника, h - высота треугольника.

Нам дано, что объем равен 10 м3. Подставляя известные значения, мы получаем:

10 = (1/3) √3/4 a^2 * h

Далее, решая уравнение, мы можем найти высоту кучи, которая равна 2,88 м.

Для того чтобы объем кучи, имеющей форму конуса с углом откоса 30°, был равен 10 м3, высота кучи должна быть примерно 5.77 метра.