Рыболов в 5 часов утра отправился на моторной лодке к водяной мельнице, находящейся вверх по течению реки в 6 км от пристани. Там он в течении 2,5 часов ловил рыбу, а затем отправился обратно и вернулся на пристань в 9:30 утра. Найдите собственную скорость лодки в км/ч, если скорость течения реки равна 4 км/ч
Для решения этой задачи нам нужно сначала понять, сколько времени рыболов потратил на путь вверх по течению и обратно вниз по течению, а затем использовать эти данные для нахождения собственной скорости лодки.
Рыболов отправился в 5 часов утра и вернулся в 9:30 утра. Таким образом, общее время, которое он провел в пути и на рыбалке, составляет:
9:30 - 5:00 = 4 часа 30 минут = 4,5 часа
Из этого времени 2,5 часа он ловил рыбу. Следовательно, на саму поездку (вверх по течению и обратно) осталось:
4,5 часа - 2,5 часа = 2 часа
Пусть ( v ) - собственная скорость лодки в км/ч. Обозначим скорость течения реки через ( v_t ), которая равна 4 км/ч.
Когда лодка плывет вверх по течению, ее эффективная скорость относительно берега будет:
[ v_{up} = v - v_t = v - 4 ]
Расстояние до мельницы составляет 6 км, поэтому время в пути вверх по течению можно выразить как:
[ t_{up} = \frac{6}{v - 4} ]
Когда лодка плывет вниз по течению, ее эффективная скорость относительно берега будет:
[ v_{down} = v + v_t = v + 4 ]
И время в пути вниз по течению будет:
[ t_{down} = \frac{6}{v + 4} ]
Мы знаем, что суммарное время в пути вверх и вниз по течению составляет 2 часа. Таким образом, получаем уравнение:
[ t{up} + t{down} = 2 ]
Подставляем выражения для ( t{up} ) и ( t{down} ):
[ \frac{6}{v - 4} + \frac{6}{v + 4} = 2 ]
Для решения этого уравнения умножим обе его части на ((v - 4)(v + 4)):
[ 6(v + 4) + 6(v - 4) = 2(v - 4)(v + 4) ]
Раскроем скобки:
[ 6v + 24 + 6v - 24 = 2(v^2 - 16) ]
Объединим подобные члены:
[ 12v = 2v^2 - 32 ]
Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
[ 2v^2 - 12v - 32 = 0 ]
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
[ v^2 - 6v - 16 = 0 ]
Решим квадратное уравнение методом дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 ]
Корни уравнения:
[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} ]
Получаем два возможных значения:
[ v_1 = \frac{16}{2} = 8 ] [ v_2 = \frac{-4}{2} = -2 ]
Поскольку скорость не может быть отрицательной, то подходящий корень:
[ v = 8 ]
Собственная скорость лодки составляет 8 км/ч.
Сначала найдем время, которое рыболов тратит на движение к мельнице: 6 км / (v + 4) км/ч = 1 час v + 4 = 6 v = 2 км/ч
Затем найдем время, которое рыболов тратит на обратное движение: 6 км / (v - 4) км/ч = 2,5 часа v - 4 = 2,4 v = 6,4 км/ч
Скорость лодки равна 6,4 км/ч.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой расстояния:
[ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} ]
Пусть ( V ) - скорость лодки в км/ч. Тогда расстояние, которое пройдет лодка вверх по течению за 1 час, будет равно ( V + 4 ) км, а расстояние, которое пройдет лодка вниз по течению за 1 час, будет равно ( V - 4 ) км.
Сначала посчитаем расстояние, которое пройдет лодка вверх по течению до мельницы за 1 час: [ (V + 4) \times 1 = V + 4 ]
Затем посчитаем расстояние, которое пройдет лодка вниз по течению до пристани за 1 час: [ (V - 4) \times 1 = V - 4 ]
Итак, обратно на пристань лодка вернулась за 1,5 часа, что составляет 1 час (путь вниз по течению) + 2,5 часа (время, проведенное на мельнице). Поэтому расстояние от мельницы до пристани составляет ( (V - 4) \times 1 + 6 ).
Теперь составим уравнение на основе данных задачи: [ (V - 4) \times 1 + 6 = (V + 4) \times 2,5 ]
Решив это уравнение, мы найдем скорость лодки: ( V = 12 ) км/ч.
Итак, скорость лодки равна 12 км/ч.
