Решите треугольник АВС, если угол В=30 градусов , угол С=105 градусов , ВС = 3 корень из 2 см.

Для решения треугольника (ABC) нужно найти все его стороны и углы. Даны следующие данные:

• Угол (B = 30^\circ)
• Угол (C = 105^\circ)
• Сторона (BC = 3\sqrt{2}) см

Шаг 1: Найти угол (A)

Сумма углов треугольника равна (180^\circ). Следовательно, [ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C ] [ \angle A = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ ] [ \angle A = 45^\circ ]

Теперь у нас есть все углы треугольника:

• (\angle A = 45^\circ)
• (\angle B = 30^\circ)
• (\angle C = 105^\circ)

Шаг 2: Применить теорему синусов для нахождения сторон (AB) и (AC)

Теорема синусов гласит: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Здесь:

• (a = BC = 3\sqrt{2})
• (b = AC)
• (c = AB)

Подставим известные значения: [ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 105^\circ} ]

Значения синусов известных углов:

• (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2})
• (\sin 30^\circ = \frac{1}{2})
• (\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})

Шаг 3: Найти (AC)

Используем отношение: [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} ] [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = AC \cdot 2 ] [ 6 = AC ] [ AC = 6 \text{ см} ]

Шаг 4: Найти (AB)

Используем отношение: [ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} ] [ 6 = AB \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ] [ AB = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ] [ AB = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} ] [ AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} ]

Итак, все стороны и углы треугольника (ABC) найдены:

• (\angle A = 45^\circ)
• (\angle B = 30^\circ)
• (\angle C = 105^\circ)
• (BC = 3\sqrt{2}) см
• (AC = 6) см
• (AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}) см

Для решения треугольника АВС, имеющего угол В = 30 градусов, угол С = 105 градусов и сторону ВС = 3√2 см, можно воспользоваться законом синусов.

Сначала найдем третий угол треугольника АВС: Угол А = 180 - (30 + 105) = 45 градусов.

Затем найдем стороны АВ и АС, используя закон синусов: sin(30) / ВА = sin(105) / ВС = sin(45) / АС

sin(30) / ВА = sin(105) / 3√2 ВА = sin(30) / (sin(105) / 3√2) = 0.5 / (0.966 / 3√2) ≈ 1.55 см

sin(45) / АС = sin(105) / 3√2 АС = sin(45) / (sin(105) / 3√2) = √2 / (0.966 / 3√2) ≈ 3.45 см

Таким образом, стороны треугольника АВС равны: АВ ≈ 1.55 см, ВС = 3√2 см, АС ≈ 3.45 см.