Решите треугольник ABC, если угол B=30 градусов, угол C=105градусов, AC=4 см

Для решения треугольника ABC, нам необходимо найти все его стороны и оставшийся угол.

1. Найдем угол A:

   Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Известны углы B и C:

   [ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ. ]

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон:

   Теорема синусов гласит:

   [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ]

   где (a), (b), (c) — стороны треугольника, а (\angle A), (\angle B), (\angle C) — противолежащие им углы.

   Известно, что (AC = b = 4) см, (\angle B = 30^\circ), (\angle C = 105^\circ), (\angle A = 45^\circ).

3. Найдем сторону (AB = c):

   Используем соотношение (\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}):

   [ \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ}. ]

   Заметим, что (\sin 30^\circ = 0.5) и (\sin 105^\circ = \sin (180^\circ - 75^\circ) = \sin 75^\circ). Используя формулу для синуса суммы, (\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ).

   Подставляя значения, (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}), (\sin 30^\circ = 0.5), (\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем:

   [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0.5 = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ]

   Подставляем в уравнение:

   [ \frac{4}{0.5} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}, ]

   откуда

   [ 8 = \frac{4c}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}, ]

   следовательно,

   [ c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2}). ]

4. Найдем сторону (BC = a):

   Используем соотношение (\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}):

   [ \frac{4}{0.5} = \frac{a}{\sin 45^\circ}, ]

   где (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), тогда

   [ 8 = \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}, ]

   откуда

   [ a = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}. ]

Итак, стороны треугольника ABC равны:

• (AB = c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})) см,
• (BC = a = 4\sqrt{2}) см,
• (AC = b = 4) см.

Углы треугольника:

• (\angle A = 45^\circ),
• (\angle B = 30^\circ),
• (\angle C = 105^\circ).

Для решения треугольника ABC с углами B = 30 градусов, C = 105 градусов и стороной AC = 4 см, мы можем использовать законы синусов и косинусов.

1. Найдем третий угол: Угол A = 180 - 30 - 105 = 45 градусов.

2. Найдем сторону AB, используя закон синусов: sin A / AB = sin B / AC sin 45 / AB = sin 30 / 4 AB = 4 * sin 45 / sin 30 ≈ 4.83 см

3. Найдем сторону BC, используя закон косинусов: BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 AC AB cos C BC^2 = 4^2 + 4.83^2 - 2 4 4.83 cos 105 BC ≈ 7.12 см

Таким образом, треугольник ABC имеет стороны AB ≈ 4.83 см, BC ≈ 7.12 см и AC = 4 см, а углы A = 45 градусов, B = 30 градусов и C = 105 градусов.