Решите треугольник ABC, если ∠B=30°, ∠C=105°, BC=3√2 см.

Для решения треугольника ABC необходимо найти все его стороны и углы. Давайте разберёмся поэтапно.

Шаг 1: Определение угла A

Сумма углов треугольника равна 180°. Зная углы B и C, мы можем найти угол A:

[ ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 105° = 45° ]

Таким образом, угол A равен 45°.

Шаг 2: Применение теоремы синусов

Теорема синусов утверждает, что отношения длин сторон треугольника к синусам противоположных углов равны:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

В нашем случае известна сторона ( BC = a = 3\sqrt{2} ) см и углы. Воспользуемся этой информацией для нахождения сторон ( AB = c ) и ( AC = b ).

Шаг 3: Нахождение стороны AC

Используем теорему синусов для нахождения стороны ( AC ):

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} ]

Подставляем известные значения:

[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin 30°} ]

(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 30° = \frac{1}{2}):

[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}} ]

Упрощаем выражение:

[ 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2b ]

[ 6 = 2b ]

[ b = 3 \text{ см} ]

Таким образом, сторона ( AC = b = 3 ) см.

Шаг 4: Нахождение стороны AB

Теперь используем теорему синусов для нахождения стороны ( AB ):

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} ]

Подставляем известные значения:

[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{c}{\sin 105°} ]

(\sin 105° = \sin(180° - 75°) = \sin 75°), а (\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°)

[ \sin 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Подставим это значение:

[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} ]

Упрощаем выражение:

[ 6 = \frac{4c}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} ]

[ c = \frac{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} ]

Таким образом, сторона ( AB = c = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} ) см.

Итог

Мы нашли все стороны и углы треугольника ABC:

• ( \angle A = 45° )
• ( \angle B = 30° )
• ( \angle C = 105° )
• ( BC = 3\sqrt{2} ) см
• ( AC = 3 ) см
• ( AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} ) см

Для решения треугольника ABC с углами ∠B=30°, ∠C=105° и стороной BC=3√2 см, сначала найдем третий угол ∠A, так как сумма углов треугольника равна 180°. ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 105° = 45°.

Затем найдем стороны AB и AC, используя теорему синусов. Пусть x - длина стороны AB, y - длина стороны AC.

sinA/a = sinB/b = sinC/c

sinA/x = sin30°/3√2 sinA/x = 1/2√2 x = 2√2

sinA/y = sin105°/3√2 sinA/y = √3/3√2 y = √3

Итак, стороны треугольника ABC равны: AB = 2√2 см, BC = 3√2 см, AC = √3 см.