РЕШИТЬ ЗАДАЧУ ПО ГЕОМЕТРИИ: АПОФЕМА ПРАВИЛЬНОЙ ЧЕТЫРЕХ УГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ РАВНА 3, ПЛОСКИЙ УГОЛ ПРИ ВЕРШИНЕ...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для объёма пирамиды и конуса.

1. Объём пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) S h, где V - объём пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

2. Объём конуса можно найти по формуле: V = (1/3) π r^2 * h, где V - объём конуса, π - число Пи, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

В данной задаче площадь основания пирамиды равна 3, а плоский угол при вершине равен 60 градусов. Для нахождения высоты пирамиды можем воспользоваться правилом косинусов: cos(60) = h / a, где h - высота пирамиды, a - сторона основания пирамиды. Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то a = 2 * r, где r - радиус вписанной в основание окружности.

Из уравнения cos(60) = h / a получаем, что h = a cos(60). Таким образом, h = 2 r * cos(60).

Подставляем значение высоты в формулу для объёма пирамиды: V = (1/3) S h = (1/3) 3 2 r cos(60) = 2 r cos(60).

Для нахождения объёма описанного около пирамиды конуса, нам нужно знать радиус основания и высоту конуса. Радиус основания конуса равен радиусу вписанной в основание пирамиды окружности, т.е. r. Высоту конуса можно найти по теореме Пифагора: h_cone = √(r^2 + (h/2)^2) = √(r^2 + (r * cos(60))^2).

Теперь можем подставить значения в формулу для объёма конуса: V_cone = (1/3) π r^2 h_cone = (1/3) π r^2 √(r^2 + (r * cos(60))^2).

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с геометрией правильной четырехугольной пирамиды и подходом к вычислению объема пирамиды и описанного около нее конуса.

Шаг 1: Определение элементов пирамиды

1. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, опущенная из ее вершины на сторону основания. Она равна 3.

2. Плоский угол при вершине — это угол между двумя смежными боковыми гранями пирамиды. Он равен 60 градусам.

3. Правильная четырехугольная пирамида — это пирамида, основание которой является квадратом, а все боковые грани — равнобедренные треугольники.

Шаг 2: Построение пирамиды

1. Обозначим:

   • ( S ) — вершина пирамиды,
   • ( ABCD ) — квадратное основание пирамиды,
   • ( O ) — центр квадрата ( ABCD ).

2. Поскольку пирамида правильная, то все боковые грани равны, а высота пирамиды ( SO ) перпендикулярна плоскости основания ( ABCD ).

3. Рассмотрим треугольник ( SAB ), который является одним из боковых треугольников.

Шаг 3: Вычисления

1. В треугольнике ( SAB ):

   • Апофема ( SA = 3 ).
   • Угол между апофемами ( \angle ASB = 60^\circ ).

2. Разделим угол при вершине пополам, чтобы получить прямоугольный треугольник ( SAO ) (где ( AO ) — половина диагонали квадрата ( ABCD )).

3. Используя свойства треугольника ( SAO ):

   • ( \angle SAO = 30^\circ ).

4. В прямоугольном треугольнике ( SAO ), применяя тригонометрические функции:

   • ( \cos(30^\circ) = \frac{AO}{SA} ).
   • ( AO = SA \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} ).

5. Диагональ квадрата ( ABCD ) равна ( 2 \cdot AO = 3\sqrt{3} ).

6. Сторона квадрата ( a ) равна ( \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2} ).

7. Высота пирамиды ( SO ) находится из треугольника ( SAO ):

   • ( \sin(30^\circ) = \frac{SO}{SA} ).
   • ( SO = SA \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5 ).

Шаг 4: Объем пирамиды

1. Площадь основания ( S = a^2 = \left(\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{54}{4} = 13.5 ).

2. Объем пирамиды ( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 13.5 \cdot 1.5 = 6.75 ).

Шаг 5: Объем описанного конуса

1. Конус описан около пирамиды, его основание совпадает с основанием пирамиды, а высота равна высоте пирамиды.

2. Объем конуса ( V_k = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot SO ).

3. Подставляя значения:

   • Радиус основания конуса ( r = \frac{\sqrt{6}}{2} ).
   • ( V_k = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2 \cdot 1.5 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \frac{54}{4} \cdot 1.5 = \frac{81\pi}{8} ).

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 6.75, а объем описанного около пирамиды конуса равен (\frac{81\pi}{8}).