Реброс куба abcda1b1c1d1 равна 5см найдити расстояние между прямыми AB и CC1

Чтобы найти расстояние между двумя прямыми ( AB ) и ( CC_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), необходимо учесть, что они в данном случае скрещивающиеся, то есть не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Дано:

Ребро куба ( a = 5 \, \text{см} ).
Прямые:

• ( AB ) лежит на одной из граней куба (нижняя грань ( ABCD )), соединяя вершины ( A ) и ( B ).
• ( CC_1 ) — это вертикальное ребро куба, соединяющее вершины ( C ) (нижняя грань) и ( C_1 ) (верхняя грань).

Общий подход:

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми ( AB ) и ( CC_1 ), нужно:

1. Задать координаты всех точек куба в пространстве.
2. Выразить прямые ( AB ) и ( CC_1 ) параметрически.
3. Найти векторное произведение направляющих векторов прямых.
4. Использовать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.

1. Координаты вершин куба:

Зададим куб с ребром ( a = 5 ) в декартовой системе координат, разместив вершину ( A ) в начале координат:

• ( A(0, 0, 0) ),
• ( B(5, 0, 0) ),
• ( C(5, 5, 0) ),
• ( D(0, 5, 0) ),
• ( A_1(0, 0, 5) ),
• ( B_1(5, 0, 5) ),
• ( C_1(5, 5, 5) ),
• ( D_1(0, 5, 5) ).

2. Параметрическое задание прямых:

• Прямая ( AB ):
  Точки ( A(0, 0, 0) ) и ( B(5, 0, 0) ).
  Направляющий вектор ( \vec{v_1} = B - A = (5, 0, 0) ).
  Параметрическое уравнение:
  [ \vec{r_1}(t) = (0, 0, 0) + t \cdot (5, 0, 0), \; t \in \mathbb{R}. ]

• Прямая ( CC_1 ):
  Точки ( C(5, 5, 0) ) и ( C_1(5, 5, 5) ).
  Направляющий вектор ( \vec{v_2} = C_1 - C = (0, 0, 5) ).
  Параметрическое уравнение:
  [ \vec{r_2}(s) = (5, 5, 0) + s \cdot (0, 0, 5), \; s \in \mathbb{R}. ]

3. Вектор между прямыми:

Для нахождения расстояния между прямыми, нужно взять произвольные точки на каждой из прямых:

• Точка на ( AB ): ( \vec{r_1}(t) = (5t, 0, 0) ).
• Точка на ( CC_1 ): ( \vec{r_2}(s) = (5, 5, 5s) ).

Вектор между этими точками:
[ \vec{d}(t, s) = \vec{r_2}(s) - \vec{r_1}(t) = (5 - 5t, 5, 5s). ]

4. Расстояние между прямыми:

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется формулой:
[ d = \frac{|(\vec{d_0} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])|}{| \vec{v_1} \times \vec{v_2} |}, ] где:

• ( \vec{d_0} ) — любой вектор между точками на прямых;
• ( \vec{v_1} ) и ( \vec{v_2} ) — направляющие векторы прямых;
• ( \vec{v_1} \times \vec{v_2} ) — векторное произведение направляющих векторов.

Шаг 1: Векторное произведение ( \vec{v_1} \times \vec{v_2} ):

[ \vec{v_1} = (5, 0, 0), \; \vec{v_2} = (0, 0, 5). ] [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 5 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 5 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(5 \cdot 5 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(5 \cdot 0 - 0 \cdot 0). ] [ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, -25, 0). ]

Шаг 2: Нахождение модуля ( | \vec{v_1} \times \vec{v_2} | ):

[ | \vec{v_1} \times \vec{v_2} | = \sqrt{0^2 + (-25)^2 + 0^2} = 25. ]

Шаг 3: Выбор вектора ( \vec{d_0} ):

Возьмём ( t = 0 ) и ( s = 0 ), тогда:

• Точка на ( AB ): ( A(0, 0, 0) );
• Точка на ( CC_1 ): ( C(5, 5, 0) ).

Вектор между этими точками:
[ \vec{d_0} = C - A = (5, 5, 0). ]

Шаг 4: Скалярное произведение ( \vec{d_0} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) ):

[ \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, -25, 0), \; \vec{d_0} = (5, 5, 0). ] [ \vec{d_0} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 5 \cdot 0 + 5 \cdot (-25) + 0 \cdot 0 = -125. ]

Шаг 5: Расстояние ( d ):

[ d = \frac{| -125 |}{25} = \frac{125}{25} = 5 \, \text{см}. ]

Ответ:

Расстояние между прямыми ( AB ) и ( CC_1 ) равно ( \mathbf{5 \, \text{см}} ).

Чтобы найти расстояние между прямыми AB и CC1 в кубе, нужно учесть, что эти прямые не пересекаются и не параллельны, поэтому расстояние между ними можно определить с помощью метода, основанного на построении перпендикуляра.

1. Определение координат вершин куба: Пусть куб ABCDA1B1C1D1 расположен в пространстве с вершиной A в начале координат (0, 0, 0). Тогда координаты остальных вершин будут следующими:

   • A(0, 0, 0)
   • B(5, 0, 0)
   • C(5, 5, 0)
   • D(0, 5, 0)
   • A1(0, 0, 5)
   • B1(5, 0, 5)
   • C1(5, 5, 5)
   • D1(0, 5, 5)

2. Уравнение прямых AB и CC1: Прямая AB проходит через точки A и B, и её можно описать параметрически следующим образом: [ \mathbf{r}{AB}(t) = (0 + 5t, 0, 0), \quad t \in [0, 1] ] Прямая CC1 проходит через точки C и C1, и её уравнение будет: [ \mathbf{r}{CC1}(s) = (5, 5, 0 + 5s), \quad s \in [0, 1] ]

3. Векторное представление прямых: Вектор AB: [ \mathbf{AB} = \langle 5, 0, 0 \rangle ] Вектор CC1: [ \mathbf{CC1} = \langle 0, 0, 5 \rangle ]

4. Нахождение точки на прямой AB: Для нахождения ближайшей точки на прямой CC1 к прямой AB, нужно взять произвольное значение ( t ) для точки на AB. Например, пусть ( t = 0.5 ): [ M = \mathbf{r}_{AB}(0.5) = (2.5, 0, 0) ]

5. Нахождение расстояния: Теперь найдем точку на CC1, которая ближе всего к точке M. Для этого подставим ( s ) в уравнение CC1: [ N = \mathbf{r}_{CC1}(s) = (5, 5, 5s) ] Расстояние между точками M и N можно выразить через формулу расстояния в пространстве: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] Подставляем координаты точек M и N: [ d = \sqrt{(5 - 2.5)^2 + (5 - 0)^2 + (5s - 0)^2} ]

   Чтобы найти минимальное расстояние, нужно минимизировать это выражение относительно ( s ). Для этого можно использовать производную.

6. Решение: Однако проще всего заметить, что наибольшая высота между плоскостью, содержащей прямую AB, и линией CC1 будет находиться в центре прямых. В нашем случае, так как длина ребра куба равна 5 см, минимальное расстояние между двумя прямыми будет равно: [ d = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см} ]

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CC1 в кубе составляет ( 5\sqrt{2} ) см.