Равнобедренный треугольник, к которого боковые стороны равны по 4 см, а один из углов 120, вращается...

Для решения этой задачи нужно найти высоту равнобедренного треугольника, а затем использовать формулу для площади поверхности вращения.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины угла 120 градусов, делит треугольник на два равнобедренных треугольника с углами 30-60-90. Таким образом, высота равна ( 4 \cdot \sqrt{3} ).

Площадь поверхности вращения можно найти по формуле ( S = 2\pi \cdot r \cdot h ), где r - радиус вращения (длина большей стороны равнобедренного треугольника), h - высота треугольника.

Подставив значения, получаем ( S = 2\pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 32\pi\sqrt{3} ) см².

Итак, площадь поверхности полученного тела равна ( 32\pi\sqrt{3} ) см².

Для вычисления площади поверхности вращения равнобедренного треугольника нужно использовать формулу S = 2πrh, где r - радиус вращения (равен половине бОльшей стороны треугольника), h - высота треугольника (равна одной из боковых сторон). Подставляем значения r = 4/2 = 2 см и h = 4 см, получаем S = 2π 2 4 = 16π см². Полученная площадь поверхности тела равна 16π квадратных сантиметров.

Для решения этой задачи сначала определим, с каким геометрическим телом мы имеем дело. При вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его большую сторону, образуется конус. Однако, в данном случае, так как угол при основании треугольника 120°, а не 60°, мы получим усеченный конус (или коническую поверхность).

Шаги решения:

1. Определение элементов треугольника:

   • Даны боковые стороны (AB = AC = 4) см.
   • Угол (A = 120^\circ).

2. Вычисление большей стороны (BC):

   • Используем теорему косинусов для треугольника (ABC): [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A ] [ BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ ]
   • Поскольку (\cos 120^\circ = -0.5), получаем: [ BC^2 = 16 + 16 + 16 = 48 ] [ BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ]

3. Вращение треугольника:

   • При вращении вокруг линии, содержащей сторону (BC), боковые стороны (AB) и (AC) образуют боковую поверхность конуса.
   • Высота соответствующего конуса будет равна высоте треугольника, опущенной из вершины (A) на основание (BC).

4. Вычисление высоты треугольника:

   • Высота (AD) разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника (ABD) и (ACD).
   • В треугольнике (ABD), угол (BAD = 60^\circ).
   • Следовательно, (\cos 60^\circ = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{4}).
   • (\cos 60^\circ = 0.5), значит (BD = 2).
   • Так как (BC = 4\sqrt{3}), то (DC = BC - BD = 4\sqrt{3} - 2).

5. Вычисление высоты (AD):

   • Используем формулу синуса: [ \sin 60^\circ = \frac{AD}{AB} \Rightarrow AD = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]

6. Площадь боковой поверхности:

   • Формула площади боковой поверхности конуса с радиусом (r) и образующей (l): [ S = \pi r l ]
   • В нашем случае радиус (r = AD = 2\sqrt{3}), а образующая (l = AB = 4).
   • Подставим в формулу: [ S = \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 8\pi\sqrt{3} ]

Следовательно, площадь поверхности полученного тела равна (8\pi\sqrt{3}) квадратных сантиметров.