Радиусы основания усеченного конуса равны 8 и 5,а образующая наклонена к плоскости основания под углом...

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Радиусы оснований усеченного конуса ( R = 8 ) и ( r = 5 ).
2. Образующая наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ).

Найти:

1. Высоту усеченного конуса ( h ).
2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса ( S ).

Решение:

1. Высота усеченного конуса ( h )

Для начала, разберемся с высотой. Образующая ( l ) наклонена к плоскости основания под углом ( 60^\circ ). Напомним, что образующая ( l ) — это линия, соединяющая точки на окружностях двух оснований усеченного конуса.

Из геометрии усеченного конуса известно, что: [ \cos \theta = \frac{h}{l} ]

где ( \theta = 60^\circ ).

А также: [ \sin \theta = \frac{R - r}{l} ]

где ( R ) и ( r ) — радиусы оснований.

Давайте выразим ( l ) для ( \sin \theta ): [ \sin 60^\circ = \frac{R - r}{l} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 - 5}{l} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{l} ] [ l = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} ] [ l = \frac{6}{\sqrt{3}} ] [ l = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} ] [ l = 2 \cdot 3 ] [ l = 6 ]

Теперь используем ( \cos \theta ) для нахождения высоты ( h ): [ \cos 60^\circ = \frac{h}{l} ] [ \frac{1}{2} = \frac{h}{6} ] [ h = 6 \cdot \frac{1}{2} ] [ h = 3 ]

Таким образом, высота усеченного конуса ( h = 3 ).

2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса ( S )

Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: [ S = \pi (R + r) l ]

Мы уже нашли ( l = 6 ).

Теперь подставим все значения: [ S = \pi (8 + 5) \cdot 6 ] [ S = \pi \cdot 13 \cdot 6 ] [ S = 78\pi ]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса ( S = 78\pi ).

Ответ:

1. Высота усеченного конуса ( h = 3 ).
2. Площадь боковой поверхности усеченного конуса ( S = 78\pi ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника, образованного образующей, радиусом большего основания и радиусом меньшего основания.

Пусть h - высота усеченного конуса, тогда по теореме Пифагора: (8 - 5)^2 + h^2 = (8^2 - 5^2)^2, 3^2 + h^2 = 3^2, h^2 = 9, h = 3.

Таким образом, высота конуса равна 3.

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса воспользуемся формулой: Sб = π(R1 + R2) * l, где R1 и R2 - радиусы большего и меньшего оснований, l - длина образующей.

Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, то l = √(h^2 + (R1 - R2)^2) = √(3^2 + 3^2) = √18.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности: Sб = π(8 + 5) * √18 = 13π√18.

Итак, высота усеченного конуса равна 3, а площадь боковой поверхности равна 13π√18.