Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°; б) площадь боковой поверхности конуса.
Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°; б) площадь боковой поверхности конуса.
Для решения задачи нам потребуется выполнить следующие шаги:
Так как образующая ( l ) наклонена к плоскости основания под углом 30° и радиус основания ( r ) равен 6 см, мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой ( h ), радиусом ( r ) и образующей ( l ): [ \sin 30^\circ = \frac{h}{l} \rightarrow h = l \sin 30^\circ = \frac{l}{2} ] Также известно, что [ \cos 30^\circ = \frac{r}{l} \rightarrow l = \frac{r}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ] Тогда высота ( h ) будет: [ h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]
Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие с углом 60° между ними, образует равнобедренный треугольник с основанием ( r ) и углом при вершине 60°. Боковые стороны этого треугольника равны длине образующей ( l = 4\sqrt{3} ) см. [ \text{Высота треугольника} = \frac{l \sin 60^\circ}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}/2}{2} = 3 \text{ см} ] Площадь этого треугольника: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18 \text{ см}^2 ]
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: [ S = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 ]
Итак, ответы на задачи: а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°, равна 18 см². б) Площадь боковой поверхности конуса равна ( 24\sqrt{3}\pi ) см².
а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°, равна S = πr^2, где r - радиус основания конуса. S = π*(6 см)^2 = 36π см^2.
б) Площадь боковой поверхности конуса равна L = πrl, где l - образующая конуса. l = r/sinα, где α - угол между образующей и плоскостью основания (в данном случае α = 30°). l = 6 см/sin30° = 12 см. L = π6 см*12 см = 72π см^2.
а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°, можно найти по формуле для площади сечения двух плоскостей в пространстве. Площадь сечения будет равна произведению половины произведения длин образующих на синус угла между ними: S = 0.5 (2 pi 6 sin(60°)) = 6 pi sin(60°) ≈ 31.42 см².
б) Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле Sб = pi r l, где r - радиус основания, l - образующая. Так как у нас образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°, то l = r / cos(30°) = 6 / cos(30°) = 12 см. Тогда Sб = pi 6 12 ≈ 226.19 см².
