Радиус окружности,вписанной в основание правильной шестиугольной пирамиды,равен 3,а длина бокового ребра...

Чтобы найти высоту правильной шестиугольной пирамиды, начнем с анализа ее геометрических свойств.

1. Вписанная окружность и основание пирамиды: Основание пирамиды — правильный шестиугольник. Вписанная окружность касается всех сторон шестиугольника в его серединах. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника, составляющего шестиугольник. Пусть сторона шестиугольника равна ( a ). Тогда радиус вписанной окружности ( r ) равен:

   [ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

   Дано ( r = 3 ), следовательно:

   [ \frac{a \sqrt{3}}{2} = 3 \implies a \sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

2. Высота пирамиды: В правильной пирамиде высота опускается из вершины на центр основания (центр вписанной окружности).

3. Рассмотрим треугольник: Для нахождения высоты пирамиды рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды (перпендикуляр из вершины на основание), боковым ребром и отрезком из центра шестиугольника до вершины одного из его треугольников.

   Центр шестиугольника совпадает с центром вписанной окружности. Расстояние от центра до одной из вершин шестиугольника (радиус описанной окружности) равно стороне правильного шестиугольника, то есть ( a = 2\sqrt{3} ).

   Таким образом, треугольник является прямоугольным, и для определения высоты ( h ) пирамиды можно использовать теорему Пифагора. Пусть ( S ) — вершина пирамиды, ( O ) — центр основания, ( A ) — одна из вершин шестиугольника. Тогда:

   [ SA^2 = SO^2 + OA^2 ]

   Здесь ( SA ) — боковое ребро (4√7), ( OA = a = 2\sqrt{3} ), и ( SO = h ) — высота пирамиды. Подставим значения:

   [ (4\sqrt{7})^2 = h^2 + (2\sqrt{3})^2 ]

   [ 16 \times 7 = h^2 + 4 \times 3 ]

   [ 112 = h^2 + 12 ]

   [ h^2 = 112 - 12 = 100 ]

   [ h = \sqrt{100} = 10 ]

Таким образом, высота пирамиды равна 10.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства правильных пирамид и окружностей, вписанных в многоугольники.

Поскольку радиус окружности, вписанной в основание правильной шестиугольной пирамиды, равен 3, то мы можем выразить радиус вписанной окружности через радиус описанной окружности правильного шестиугольника.

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен половине длины стороны, а длина стороны равна длине бокового ребра пирамиды. Поэтому радиус описанной окружности равен половине длины бокового ребра пирамиды, то есть 2√7.

Таким образом, мы можем записать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей: r = (2/√3)R, где r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Из условия задачи известно, что радиус вписанной окружности равен 3, поэтому получаем уравнение: 3 = (2/√3)R => R = 3√3/2.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора: h = √(a^2 - r^2), где a - длина бокового ребра пирамиды, r - радиус вписанной окружности.

Подставляем известные значения и решаем уравнение: h = √((4√7)^2 - 3^2) = √(112 - 9) = √103.

Итак, высота правильной шестиугольной пирамиды равна √103.