Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник , равен 5. Найдите высоту треугольника

Высота правильного треугольника равна радиусу вписанной окружности, умноженному на √3. Следовательно, высота треугольника равна 5√3.

Чтобы найти высоту правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности, воспользуемся некоторыми свойствами правильных треугольников.

Обозначим:

• сторону правильного треугольника через ( a ),
• радиус вписанной окружности через ( r ),
• высоту треугольника через ( h ).

Для правильного треугольника известно, что радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной треугольника следующим образом:

[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

По условию задачи, ( r = 5 ). Подставим это значение в формулу:

[ 5 = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Теперь выразим сторону ( a ) через радиус:

[ a = \frac{5 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} ]

Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}) для избавления от иррациональности в знаменателе:

[ a = \frac{30 \sqrt{3}}{3} = 10 \sqrt{3} ]

Теперь найдем высоту ( h ) треугольника. Высота в правильном треугольнике связана со стороной следующим образом:

[ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]

Подставим найденное значение ( a ):

[ h = \frac{10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15 ]

Таким образом, высота правильного треугольника равна 15.

Для нахождения высоты правильного треугольника, вписанного в окружность, можно воспользоваться формулой для высоты равностороннего треугольника.

Высота равностороннего треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на √3. Таким образом, если радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 5, то высота треугольника будет равна 5√3.

Итак, высота правильного треугольника, вписанного в окружность с радиусом 5, равна 5√3.