Радиус окружности, вписанной в правильный 6-угольник, равен 123 см. Найдите сторону 6-угольника и его...

Для нахождения стороны правильного 6-угольника, вписанного в окружность, можно воспользоваться формулой: сторона = 2 радиус tg(π/6). В данном случае сторона равна 2 123 см tg(π/6) ≈ 213.198 см.

Площадь правильного 6-угольника можно найти по формуле: S = (3 √3 a^2) / 2, где a - сторона 6-угольника. Подставив известные значения, получаем S ≈ 22172.940 см^2.

Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности связан с длиной стороны ( a ) следующим образом:

[ r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} ]

Из условия задачи известно, что ( r = 123 ) см. Подставив это значение в формулу, найдем длину стороны ( a ):

[ 123 = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} ] [ a = \frac{123 \cdot 2}{\sqrt{3}} ] [ a = \frac{246}{\sqrt{3}} ] [ a = \frac{246 \cdot \sqrt{3}}{3} ] [ a = 82\sqrt{3} ]

Теперь, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, воспользуемся формулой:

[ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot a^2}{2} ] [ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot (82\sqrt{3})^2}{2} ] [ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot 6724 \cdot 3}{2} ] [ S = \frac{3\sqrt{3} \cdot 20172}{2} ] [ S = 30258\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, длина стороны шестиугольника равна ( 82\sqrt{3} \, \text{см} ), а его площадь равна ( 30258\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус окружности ( r ) связан со стороной шестиугольника ( a ). В правильном шестиугольнике радиус окружности, вписанной в него, равен ( r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ).

Дано, что радиус окружности ( r = 123 ) см. Используя формулу, мы можем выразить сторону ( a ) шестиугольника:

[ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]

Подставим известное значение радиуса:

[ 123 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]

Отсюда выразим ( a ):

[ a = \frac{2 \cdot 123}{\sqrt{3}} = \frac{246}{\sqrt{3}} ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):

[ a = \frac{246 \cdot \sqrt{3}}{3} = 82\sqrt{3} ]

Теперь найдем площадь правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника ( S ) может быть найдена по формуле:

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 ]

Подставим найденное значение ( a ):

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (82\sqrt{3})^2 ]

Сначала найдем ( (82\sqrt{3})^2 ):

[ (82\sqrt{3})^2 = 82^2 \cdot 3 = 6724 \cdot 3 = 20172 ]

Теперь подставим это значение в формулу площади:

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 20172 ]

[ S = \frac{3 \cdot 20172 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{60516 \cdot \sqrt{3}}{2} = 30258\sqrt{3} ]

Таким образом, сторона шестиугольника равна ( 82\sqrt{3} ) см, а его площадь равна ( 30258\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.