ПРОВЕДИТЕ сечение куба АВСDА1В1С1D1 ПЛОСКОСТЬЮ, СОДЕРЖАЩЕГО прямую А1С1 и точку К- середину ребра ВС...

Чтобы найти периметр сечения куба плоскостью, проходящей через прямую ( A_1C_1 ) и точку ( K ), середину ребра ( BC ), сначала определим, как эта плоскость пересекает куб.

Шаг 1: Определение точек пересечения плоскости с кубом

1. Определение известных точек:

   • ( A_1 ) и ( C_1 ) — вершины куба.
   • ( K ) — середина ребра ( BC ). В координатах, если ( B(0, \alpha, 0) ) и ( C(\alpha, \alpha, 0) ), то ( K \left(\frac{\alpha}{2}, \alpha, 0\right) ).

2. Уравнение плоскости: Плоскость проходит через точки ( A_1(0, 0, \alpha) ), ( C_1(\alpha, \alpha, \alpha) ) и ( K \left(\frac{\alpha}{2}, \alpha, 0\right) ). Найдем уравнение этой плоскости.

   Векторное уравнение плоскости можно записать, используя векторы:

   • ( \overrightarrow{A_1C_1} = (\alpha, \alpha, 0) )
   • ( \overrightarrow{A_1K} = \left(\frac{\alpha}{2}, \alpha, -\alpha\right) )

   Вектор нормали ( \overrightarrow{n} ) к плоскости можно найти, взяв векторное произведение: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1C_1} \times \overrightarrow{A_1K} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \alpha & \alpha & 0 \ \frac{\alpha}{2} & \alpha & -\alpha \ \end{vmatrix} ]

   Решая детерминант, получаем: [ \overrightarrow{n} = (0 \cdot (-\alpha) - 0 \cdot \alpha)\mathbf{i} - (\alpha \cdot (-\alpha) - 0 \cdot \frac{\alpha}{2})\mathbf{j} + (\alpha \cdot \alpha - \alpha \cdot \frac{\alpha}{2})\mathbf{k} ] [ = 0\mathbf{i} + \alpha^2\mathbf{j} + \frac{\alpha^2}{2}\mathbf{k} ]

   Уравнение плоскости: [ \alpha^2(y - 0) + \frac{\alpha^2}{2}(z - \alpha) = 0 ] [ 2y + z - \alpha = 0 ]

3. Пересечение с ребрами куба: Пересечем эту плоскость с остальными ребрами куба:

   • Пересечение с ( AD ): ( x = 0, z = 0 ) и ( y = \alpha/2 ).
   • Пересечение с ( BB_1 ): ( x = 0, y = \alpha ) и ( z = 0 ).
   • Пересечение с ( CC_1 ): ( x = \alpha, y = \alpha ) и ( z = \alpha/2 ).

Шаг 2: Вычисление периметра сечения

Теперь у нас есть точки пересечения плоскости с кубом: ( A_1, C_1, K, D ).

1. Длины отрезков:

   • ( A_1K = \sqrt{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \alpha^2 + \alpha^2} = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4} + 2\alpha^2} = \sqrt{\frac{9\alpha^2}{4}} = \frac{3\alpha}{2} )
   • ( KC_1 = \sqrt{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 + (0)^2 + (\alpha)^2} = \sqrt{\frac{\alpha^2}{4} + \alpha^2} = \frac{\sqrt{5}\alpha}{2} )
   • ( C_1D = \alpha ) (по определению куба)

2. Периметр сечения: [ P = A_1K + KC_1 + C_1D = \frac{3\alpha}{2} + \frac{\sqrt{5}\alpha}{2} + \alpha = \frac{3\alpha}{2} + \frac{\sqrt{5}\alpha}{2} + \frac{2\alpha}{2} = \frac{(3 + \sqrt{5} + 2)\alpha}{2} = \frac{(5 + \sqrt{5})\alpha}{2} ]

Итак, периметр сечения равен (\frac{(5 + \sqrt{5})\alpha}{2}).

Для проведения сечения куба плоскостью, содержащей прямую (A1C1) и точку (K) (середину ребра (BC)), мы должны сначала найти точку пересечения плоскости с остальными ребрами куба.

Так как прямая (A1C1) проходит через середину ребра (BC), она также будет пересекать ребра (AB), (CD) и (DA1) в их серединах. Обозначим середины этих ребер как (M), (N) и (P) соответственно.

Теперь, чтобы найти периметр сечения, нам нужно найти длины отрезков, образующих сечение. Отрезки (A1M), (MBC1A1) и (C1K) будут составлять периметр сечения.

Так как (A1M = MC1 = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{\alpha}{2}), а (C1K = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{\alpha}{2}), то периметр сечения будет равен (A1M + MBC1A1 + C1K = \frac{\alpha}{2} + \sqrt{2} \cdot \alpha + \frac{\alpha}{2} = \alpha(\sqrt{2} + 1)).

Итак, периметр сечения куба плоскостью, содержащей прямую (A1C1) и точку (K), будет равен (\alpha(\sqrt{2} + 1)).