Простейшие задачи в координатах Даны точки А(1;-2), В(3;6), С(5;-2) 1. Найдите координаты векторов АВ,...

1. Координаты вектора АВ можно найти, вычитая координаты точки А из координат точки В: Вектор АВ = (3-1; 6-(-2)) = (2; 8) Координаты вектора СВ можно найти аналогичным образом: Вектор СВ = (5-3; -2-6) = (2; -8)

2. Для нахождения координат точки М, делящей отрезок АВ пополам, нужно взять среднее арифметическое координат точек А и В: М = ((1+3)/2; (-2+6)/2) = (2; 2)

3. Длину медианы СМ можно найти с помощью формулы для длины вектора: Длина медианы СМ = √((5-2)^2 + (-2-2)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

4. Чтобы узнать, является ли четырехугольник АВСD параллелограммом, нужно проверить, равны ли векторы АВ и СD, а также равны ли векторы АС и ВD. Если они равны, то четырехугольник является параллелограммом. В данном случае, вектор АВ = (2; 8) и вектор СD = (7-5; 6-(-2)) = (2; 8), что означает, что стороны АВ и СD параллельны и равны. Также вектор АС = (5-1; -2-(-2)) = (4; 0) и вектор ВD = (7-3; 6-6) = (4; 0), что означает, что стороны АС и ВD параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник АВСD является параллелограммом.

Чтобы решить данную задачу, проведем необходимые вычисления по пунктам.

1. Координаты векторов АВ и СВ

   Вектор АВ: [ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1) = (3 - 1; 6 + 2) = (2; 8) ]

   Вектор СВ: [ \overrightarrow{CB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1) = (3 - 5; 6 + 2) = (-2; 8) ]

2. Координаты точки М, делящей напополам отрезок АВ

   Точка М находится посередине отрезка АВ. Её координаты можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек А и В: [ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + 3}{2}; \frac{-2 + 6}{2}\right) = (2; 2) ]

3. Длина медианы СМ

   Медиана СМ — это отрезок от вершины С до середины противоположной стороны АВ (точка М). Найдем её длину по формуле расстояния между двумя точками: [ \text{Длина } CM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

4. Является ли четырехугольник АВСD параллелограммом, если D(7;6)?

   Четырехугольник является параллелограммом, если противоположные стороны попарно равны и параллельны. Проверим это:

   Вектор АD: [ \overrightarrow{AD} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1) = (7 - 1; 6 + 2) = (6; 8) ]

   Сравним векторы противоположных сторон: [ \overrightarrow{AB} = (2; 8), \quad \overrightarrow{CD} = (7 - 5; 6 + 2) = (2; 8) ] [ \overrightarrow{BC} = (-2; 8), \quad \overrightarrow{AD} = (6; 8) ]

   Векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}) равны, векторы (\overrightarrow{BC}) и (\overrightarrow{AD}) не равны, но они оба параллельны оси y (их х-компоненты различны, но у-компоненты одинаковы). Однако для параллелограмма векторы должны быть идентичными. Поэтому четырехугольник АВСD не является параллелограммом.