Преобразуйте выражения: a)sin(альфа) • ctg(альфа) б)tg(альфа) • cos(альфа) в)sin(альфа) : cos(альфа)...

a) sin(альфа) • ctg(альфа) = sin(альфа) • (1/tan(альфа)) = sin(альфа) / tan(альфа) = sin(альфа) / (sin(альфа) / cos(альфа)) = cos(альфа)

б) tg(альфа) • cos(альфа) = (sin(альфа) / cos(альфа)) • cos(альфа) = sin(альфа)

в) sin(альфа) : cos(альфа) = sin(альфа) / cos(альфа) = tan(альфа)

г) tg(альфа) • ctg(альфа) - 1 = (sin(альфа) / cos(альфа)) • (cos(альфа) / sin(альфа)) - 1 = 1 - 1 = 0

д) tg(альфа) : ctg(альфа) + 1 = (sin(альфа) / cos(альфа)) / (cos(альфа) / sin(альфа)) + 1 = 1 + 1 = 2

е) sin^2(альфа) - 1 : 1 - cos^2 (альфа) = (sin^2(альфа) - 1) / (1 - cos^2 (альфа)) = (sin^2(альфа) - 1) / sin^2(альфа) = 1 - 1/sin^2(альфа) = cos^2(альфа)

Давайте последовательно преобразуем каждое из данных тригонометрических выражений, используя основные тригонометрические тождества и связи между функциями.

a) ( \sin(\alpha) \cdot \cot(\alpha) )

Cotangent можно выразить через синус и косинус: [ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} ] Тогда: [ \sin(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cos(\alpha) ]

б) ( \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) )

Tangent можно выразить как отношение синуса к косинусу: [ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} ] Тогда: [ \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cdot \cos(\alpha) = \sin(\alpha) ]

в) ( \sin(\alpha) : \cos(\alpha) )

Это выражение просто является определением тангенса: [ \sin(\alpha) : \cos(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha) ]

г) ( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) - 1 )

Используя тот факт, что ( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} ): [ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)} = 1 ] Тогда: [ \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) - 1 = 1 - 1 = 0 ]

д) ( \tan(\alpha) : \cot(\alpha) + 1 )

Используя ту же замену для котангенса: [ \tan(\alpha) : \cot(\alpha) = \tan(\alpha) : \frac{1}{\tan(\alpha)} = \tan^2(\alpha) ] Тогда: [ \tan(\alpha) : \cot(\alpha) + 1 = \tan^2(\alpha) + 1 ]

е) ( \sin^2(\alpha) - 1 : (1 - \cos^2(\alpha)) )

Используя основное тригонометрическое тождество ( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 ): [ \sin^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) ] [ 1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) ] Тогда: [ (-\cos^2(\alpha)) : \sin^2(\alpha) = \frac{-\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = -\cot^2(\alpha) ]

Таким образом, мы преобразовали все данные выражения, используя основные тригонометрические свойства и тождества.