Прямоугольный треугольник с острым углом 30 град и гипотенузой 6 см вращается вокруг одного из катета...

Чтобы решить задачу о вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов и найти объем ( V ) и площадь поверхности ( S_{\text{пов}} ) полученного тела, необходимо следовать следующим шагам:

1. Определение катетов прямоугольного треугольника:

   • У нас есть прямоугольный треугольник с острым углом ( 30^\circ ) и гипотенузой 6 см. Вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом ( 30^\circ ) катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
   • Следовательно, катет ( a = \frac{6}{2} = 3 ) см.
   • Для нахождения второго катета ( b ), воспользуемся теоремой Пифагора: [ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}. ]

2. Определение типа тела вращения:

   • Если вращать треугольник вокруг катета ( a = 3 ) см, получим конус с радиусом основания ( r = b = 3\sqrt{3} ) см и высотой ( h = 3 ) см.
   • Если вращать треугольник вокруг катета ( b = 3\sqrt{3} ) см, получим конус с радиусом основания ( r = a = 3 ) см и высотой ( h = 3\sqrt{3} ) см.

3. Вычисление объема ( V ):

   • Формула объема конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. ]
   • Для вращения вокруг катета ( a ): [ V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 = 27\pi. ]
   • Для вращения вокруг катета ( b ): [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}. ]

4. Вычисление площади поверхности ( S_{\text{пов}} ):

   • Формула площади поверхности конуса (без учета основания): [ S_{\text{пов}} = \pi r l, ] где ( l ) – образующая конуса, которая вычисляется как ( l = \sqrt{r^2 + h^2} ).
   • Для вращения вокруг катета ( a ): [ l = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6, ] [ S_{\text{пов}} = \pi \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 = 18\pi\sqrt{3}. ]
   • Для вращения вокруг катета ( b ): [ l = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6, ] [ S_{\text{пов}} = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi. ]

Таким образом, для вращения треугольника вокруг катета ( a = 3 ) см, объем тела будет ( 27\pi ) кубических см, а площадь поверхности ( 18\pi\sqrt{3} ) квадратных см. Для вращения вокруг катета ( b = 3\sqrt{3} ) см, объем будет ( 9\pi\sqrt{3} ) кубических см, а площадь поверхности ( 18\pi ) квадратных см.

Объем (V) и площадь (S) такого тела вращения можно найти с помощью формул: V = (1/3) pi (гипотенуза)^2 (катет)^2 S = pi (гипотенуза) (катет) + pi (катет)^2

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, где a - катет, вокруг которого треугольник вращается. Из условия задачи известно, что гипотенуза равна 6 см, а острый угол равен 30 градусов. Тогда мы можем найти значения катетов a и b, используя тригонометрические функции.

По теореме синусов: a/sin(30) = 6/sin(90), откуда a = 6sin(30) = 60.5 = 3 см.

Так как треугольник прямоугольный, то b = 3tan(30) = 3(1/√3) = √3 см.

Теперь можем найти объем вращения V и площадь поверхности вращения S.

1. Объем вращения V: V = πa^2b = π(3^2)√3 = 9π√3 см^3.

2. Площадь поверхности вращения S: S = 2πab + πa^2 = 2π3√3 + π3^2 = 6π√3 + 9π = 15π√3 см^2.

Таким образом, объем вращения треугольника вокруг катета равен 9π√3 см^3, а площадь поверхности вращения составляет 15π√3 см^2.