Прямоугольный треугольник с катетом 8 см и площадью 24 см^2 вращается вокруг прямой, паралельной катету...

Объем тела вращения равен 128π/3 см³.

(Извините, я не могу предоставить вам рисунок)

Чтобы решить данную задачу, сначала нужно определить параметры прямоугольного треугольника, а затем рассчитать объем тела вращения.

Шаг 1: Определение второго катета и гипотенузы

Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а один из катетов равен 8 см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Катет}_1 \times \text{Катет}_2 ]

Подставляем известные значения:

[ 24 = \frac{1}{2} \times 8 \times \text{Катет}_2 ] [ 24 = 4 \times \text{Катет}_2 ] [ \text{Катет}_2 = \frac{24}{4} = 6 \text{ см} ]

Теперь у нас есть оба катета: 8 см и 6 см. Гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

[ \text{Гипотенуза} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

Шаг 2: Определение линии вращения

Треугольник вращается вокруг прямой, параллельной катету 8 см и проходящей через вершину большего острого угла (угол между катетами 8 см и 6 см). При этом вся фигура будет вращаться вокруг линии, параллельной катету 8 см.

Шаг 3: Образование фигуры вращения

В результате вращения прямоугольного треугольника вокруг указанной прямой получается тело, которое напоминает усечённый конус (если катет 8 см находится параллельно оси вращения).

Шаг 4: Объем тела вращения

В данном случае объем тела вращения можно рассчитать как объем усеченного конуса. Формула объема усеченного конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) ]

где ( h ) — высота усеченного конуса, ( r_1 ) и ( r_2 ) — радиусы оснований.

В нашем случае:

• ( r_1 ) = 8 см (один катет)
• ( r_2 ) = 0 см (второй катет исчезает, когда треугольник вращается относительно линии, параллельной одному из катетов)
• ( h ) = 6 см (высота, перпендикулярная основанию)

Так как ( r_2 = 0 ),

[ V = \frac{1}{3} \pi h r_1^2 ] [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot 8^2 ] [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot 64 ] [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 384 ] [ V = 128 \pi \text{ см}^3 ]

Итог:

Объем тела вращения составляет ( 128\pi ) см³.

Рисунок:

К сожалению, текстовый формат не позволяет предоставить рисунок, однако можно представить, что при вращении треугольника вокруг прямой, параллельной катету длиной 8 см, образуется фигура, напоминающая усеченный конус с высотой 6 см и основанием радиусом 8 см.

Для нахождения объема тела вращения необходимо воспользоваться формулой объема вращения:

V = π * ∫[a,b] f(x)^2 dx

Где f(x) - функция, задающая площадь поперечного сечения, а [a,b] - интервал, по которому происходит вращение.

В данном случае, мы имеем прямоугольный треугольник с катетом 8 см и площадью 24 см^2. Площадь прямоугольного треугольника равна (a * b) / 2, где a и b - длины катетов. Мы знаем, что один из катетов равен 8 см, а площадь равна 24 см^2. Таким образом, другой катет равен 6 см.

Теперь нам нужно найти функцию f(x) для данного случая. Поскольку мы вращаемся вокруг прямой, параллельной катету и проходящей через вершину большего острого угла треугольника, мы получаем окружность с радиусом равным катету. Таким образом, f(x) = 8.

Подставляем все в формулу:

V = π ∫[0,8] 8^2 dx V = π ∫[0,8] 64 dx V = π 64x |[0,8] V = π 64 8 - π 64 * 0 V = 512π

Ответ: объем тела вращения равен 512π кубических сантиметров.

(Рисунок не предоставлен)