Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы.Найдите объем полученного...

Объем полученного тела вращения равен π/3 см³.

Для того чтобы найти объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, необходимо воспользоваться методом интегрирования и вычисления объема тела вращения.

1. Найдем гипотенузу треугольника:

   По теореме Пифагора, гипотенуза ( c ) прямоугольного треугольника с катетами ( a ) и ( b ) вычисляется как: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} ] В данном случае: [ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

2. Определим уравнение прямой, содержащей гипотенузу:

   Гипотенуза соединяет точки ((0, 3)) и ((4, 0)) в координатной плоскости. Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать в виде: [ y = mx + b ] где ( m ) — угловой коэффициент, а ( b ) — свободный член. Угловой коэффициент ( m ) равен: [ m = \frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4} ] Подставим координаты точки ((4, 0)) для нахождения ( b ): [ 0 = -\frac{3}{4} \cdot 4 + b \implies b = 3 ] Таким образом, уравнение прямой: [ y = -\frac{3}{4}x + 3 ]

3. Рассмотрим метод интегрирования для нахождения объема тела вращения:

   Треугольник вращается вокруг гипотенузы, и для вычисления объема тела вращения можно использовать метод интегрирования в полярной системе координат. Однако в данном случае проще воспользоваться известным результатом для объема тела вращения прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы.

   Объем ( V ) тела вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы можно найти по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi a b c ] где ( a ) и ( b ) — катеты, а ( c ) — гипотенуза.

4. Вычислим объем:

   Подставим значения ( a = 3 \text{ см} ), ( b = 4 \text{ см} ) и ( c = 5 \text{ см} ) в формулу: [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 60 = 20\pi \text{ куб. см} ]

Таким образом, объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг его гипотенузы, составляет: [ 20\pi \text{ куб. см} ]

Для нахождения объема тела вращения, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, сначала нужно найти длину гипотенузы. По теореме Пифагора: гипотенуза = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, мы можем использовать формулу для объема цилиндра: V = π r^2 h

Где r - радиус цилиндра (половина длины гипотенузы), h - высота цилиндра (длина гипотенузы).

r = 5 / 2 = 2.5 см h = 5 см

Подставляем значения в формулу: V = π 2.5^2 5 = π 6.25 5 = 31.25π см^3

Итак, объем полученного тела вращения равен 31.25π кубических сантиметров.