Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около гипотенузы.Найдите объем полученного...

Объем полученного тела вращения равен π/3 см³.

Для того чтобы найти объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, необходимо воспользоваться методом интегрирования и вычисления объема тела вращения.

1. Найдем гипотенузу треугольника:

   По теореме Пифагора, гипотенуза $c$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ вычисляется как: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ В данном случае: $c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ см}$

2. Определим уравнение прямой, содержащей гипотенузу:

   Гипотенуза соединяет точки $(0,3$) и $(4,0$) в координатной плоскости. Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать в виде: $y=mx+b$ где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член. Угловой коэффициент $m$ равен: $m=\frac{0-3}{4-0}=-\frac{3}{4}$ Подставим координаты точки $(4,0$) для нахождения $b$: $0=-\frac{3}{4}\cdot 4+b⟹b=3$ Таким образом, уравнение прямой: $y=-\frac{3}{4}x+3$

3. Рассмотрим метод интегрирования для нахождения объема тела вращения:

   Треугольник вращается вокруг гипотенузы, и для вычисления объема тела вращения можно использовать метод интегрирования в полярной системе координат. Однако в данном случае проще воспользоваться известным результатом для объема тела вращения прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы.

   Объем $V$ тела вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы можно найти по формуле: $V=\frac{1}{3}\pi abc$ где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

4. Вычислим объем:

   Подставим значения $a=3\text{ см}$, $b=4\text{ см}$ и $c=5\text{ см}$ в формулу: $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 3\cdot 4\cdot 5=\frac{1}{3}\pi \cdot 60=20\pi \text{ куб. см}$

Таким образом, объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг его гипотенузы, составляет: $20\pi \text{ куб. см}$

Для нахождения объема тела вращения, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, сначала нужно найти длину гипотенузы. По теореме Пифагора: гипотенуза = √$3^2+4^2$ = √$9+16$ = √25 = 5 см

Теперь, чтобы найти объем тела вращения, мы можем использовать формулу для объема цилиндра: V = π r^2 h

Где r - радиус цилиндра $половинадлиныгипотенузы$, h - высота цилиндра $длинагипотенузы$.

r = 5 / 2 = 2.5 см h = 5 см

Подставляем значения в формулу: V = π 2.5^2 5 = π 6.25 5 = 31.25π см^3

Итак, объем полученного тела вращения равен 31.25π кубических сантиметров.