Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45°, вращается вокруг катета. Найдите объем, площадь полной и боковой поверхности, полученного тела вращения.
Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45°, вращается вокруг катета. Найдите объем, площадь полной и боковой поверхности, полученного тела вращения.
Для решения данной задачи нам необходимо найти длину катетов прямоугольного треугольника. Из условия задачи известно, что гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов равен 45°.
Для нахождения длины катетов воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Пусть катеты равны a и b, тогда верно следующее: a = 12 cos(45°) = 12 √2 / 2 = 6√2 см, b = 12 sin(45°) = 12 √2 / 2 = 6√2 см.
Теперь можем найти объем тела вращения. Поскольку мы вращаем треугольник вокруг катета (который равен 6√2 см), получим цилиндр с радиусом 6√2 см и высотой 12 см. Объем цилиндра V = π r^2 h = π (6√2)^2 12 = 432π см^3.
Для нахождения площади полной поверхности нам нужно учесть площадь боковой поверхности и двух оснований цилиндра. Площадь боковой поверхности Sб = 2π r h = 2π 6√2 12 = 144π см^2, Площадь одного основания Sосн = π r^2 = π (6√2)^2 = 72π см^2, Площадь полной поверхности Sп = Sб + 2Sосн = 144π + 2*72π = 288π см^2.
Таким образом, объем полученного тела вращения составляет 432π см^3, площадь полной поверхности - 288π см^2, а боковой поверхности - 144π см^2.
Давайте подробно разберем решение задачи о вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Определение сторон треугольника:
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 45°, и гипотенуза AB = 12 см. Поскольку угол A = 45°, то угол B = 45° (треугольник равнобедренный прямоугольный).
Используя свойства равнобедренного прямоугольного треугольника (катеты равны), мы можем найти длину катетов:
[ AC = BC = \frac{\text{гипотенуза}}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} ]
Вращение вокруг катета:
Мы рассматриваем вращение треугольника вокруг катета AC. В результате этого вращения образуется конус, где:
Объем конуса:
Формула для объема конуса:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Подставим значения:
[ V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{2})^2 (6\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 72 \cdot 6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot 432\sqrt{2} = 144\sqrt{2} \pi \, \text{куб. см} ]
Площадь боковой поверхности конуса:
Формула для площади боковой поверхности конуса:
[ S_{\text{боковая}} = \pi r l ]
где ( l ) — образующая, которую можно найти по теореме Пифагора:
[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 + 72} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} ]
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
[ S_{\text{боковая}} = \pi \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 = 72\sqrt{2} \pi \, \text{кв. см} ]
Полная площадь поверхности конуса:
Полная площадь поверхности конуса включает боковую поверхность и площадь основания:
[ S_{\text{основания}} = \pi r^2 = \pi (6\sqrt{2})^2 = 72\pi \, \text{кв. см} ]
Полная площадь поверхности:
[ S{\text{полная}} = S{\text{боковая}} + S_{\text{основания}} = 72\sqrt{2} \pi + 72\pi = 72\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{кв. см} ]
Таким образом, объем тела вращения равен ( 144\sqrt{2} \pi \, \text{куб. см} ), площадь боковой поверхности составляет ( 72\sqrt{2} \pi \, \text{кв. см} ), а полная площадь поверхности — ( 72\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{кв. см} ).
