Прямоугольная трапеция с острым углом 30 градусов вращается вокруг боковой стороны, которая перпендикулярна...

Для нахождения объема тела вращения прямоугольной трапеции, вращающейся вокруг боковой стороны, можно использовать формулу объема:

[ V = \pi \cdot R^2 \cdot h ]

где ( R ) — радиус, а ( h ) — высота.

В данном случае основание меньшей стороны равняется ( a = \sqrt{3} ) см, а основание большей стороны ( b = 3\sqrt{3} ) см. Поскольку трапеция прямоугольная, высота ( h ) будет равна длине боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям, то есть ( h = 5 ) см.

Радиус ( R ) равен полусумме оснований:

[ R = \frac{a + b}{2} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

Теперь подставим значения в формулу объема:

[ V = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем тела вращения равен ( 20\pi \text{ см}^3 ).

Для решения задачи найдем объем тела вращения прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям. Для этого нужно рассмотреть трапецию и понять, какое тело образуется при вращении.

Шаг 1. Определение параметров трапеции.

1. Основания трапеции:

   • Нижнее основание ( a = 3\sqrt{3} \, \text{см} ),
   • Верхнее основание ( b = \sqrt{3} \, \text{см} ).

2. Боковые стороны:

   • Вертикальная боковая сторона (перпендикулярная основаниям) ( h = 5 \, \text{см} ),
   • Другая боковая сторона (наклонная) не используется в вычислении, так как она не влияет на тело вращения.

3. Острый угол при нижнем основании равен ( 30^\circ ). Это понадобится для вычисления высоты трапеции.

Шаг 2. Нахождение высоты трапеции.

Высота ( h_{\text{трапеции}} ) — это расстояние между основаниями, которое мы обозначим как ( h_1 ). В прямоугольной трапеции высота связана с острым углом ( 30^\circ ) и разностью оснований.

Разность оснований: [ a - b = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. ]

В прямоугольной трапеции разность оснований проецируется на высоту через угол ( 30^\circ ): [ h_1 = (a - b) \cdot \tan(30^\circ). ]

Значение ( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} ), поэтому: [ h_1 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2. ]

Итак, высота трапеции равна ( h_1 = 2 \, \text{см} ).

Шаг 3. Определение тела вращения.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, образуется усечённый конус. Его основание — круги с радиусами, равными длинам верхнего и нижнего основаниям трапеции, а высота усечённого конуса равна высоте трапеции ( h_1 = 2 \, \text{см} ).

Шаг 4. Формула объёма усечённого конуса.

Объём усечённого конуса рассчитывается по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 \right), ] где:

• ( h ) — высота усечённого конуса (( h = h_1 = 2 \, \text{см} )),
• ( R_1 ) — радиус нижнего основания (( R_1 = 3\sqrt{3} \, \text{см} )),
• ( R_2 ) — радиус верхнего основания (( R_2 = \sqrt{3} \, \text{см} )).

Подставим значения в формулу.

Шаг 5. Подсчёт объёма.

Сначала вычислим выражение внутри скобок: [ R_1^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27, \quad R_2^2 = (\sqrt{3})^2 = 3, \quad R_1 R_2 = (3\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 9. ]

Сложим их: [ R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 = 27 + 9 + 3 = 39. ]

Теперь подставим всё в формулу объёма: [ V = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 \right) = \frac{1}{3} \pi \cdot 2 \cdot 39 = \frac{78}{3} \pi = 26\pi. ]

Ответ:

Объём тела вращения равен: [ \boxed{26\pi \, \text{см}^3}. ]

Чтобы найти объем тела вращения, образуемого вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение параметров трапеции

Дано:

• Основания трапеции: ( a = \sqrt{3} ) см (меньшее основание) и ( b = 3\sqrt{3} ) см (большее основание).
• Высота трапеции ( h ) равна длине большей боковой стороны, которая составляет 5 см.
• Угол при меньшем основании ( \alpha = 30^\circ ).

Шаг 2: Нахождение высоты и длины боковой стороны

В прямоугольной трапеции с острым углом 30 градусов и высотой 5 см можно использовать тригонометрию для нахождения длины меньшей боковой стороны. Так как угол 30 градусов, можем использовать соотношение:

[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{x} ]

где ( x ) — это длина меньшей боковой стороны. Подставляем значение высоты:

[ \tan(30^\circ) = \frac{5}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{x} \quad \Rightarrow \quad x = 5\sqrt{3} ]

Шаг 3: Нахождение объема тела вращения

Теперь, когда мы знаем все стороны и высоту трапеции, можем найти объем тела вращения. Объем тела вращения, образованного вращением трапеции вокруг боковой стороны (высоты), можно найти по формуле для объема тела вращения:

[ V = \pi \int{0}^{h} [(R{top}(y))^2 - (R_{bottom}(y))^2] \, dy ]

где ( R{top} ) и ( R{bottom} ) — радиусы верхнего и нижнего основания соответственно, в зависимости от высоты ( y ).

Поскольку основание изменяется линейно, можно выразить радиусы через ( y ):

1. Радиус верхнего основания ( R_{top}(y) ) соотносится с меньшим основанием:

[ R_{top}(y) = \frac{\sqrt{3}}{5} (5 - y) ]

1. Радиус нижнего основания ( R_{bottom}(y) ) соотносится с большим основанием:

[ R_{bottom}(y) = \frac{3\sqrt{3}}{5} (5 - y) ]

Шаг 4: Подстановка в интеграл

Теперь подставим радиусы в формулу объема:

[ V = \pi \int_{0}^{5} \left[ \left(\frac{\sqrt{3}}{5} (5 - y)\right)^2 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{5} (5 - y)\right)^2 \right] dy ]

Упрощаем:

[ V = \pi \int{0}^{5} \left[ \frac{3(5-y)^2}{25} - \frac{27(5-y)^2}{25} \right] dy ] [ = \pi \int{0}^{5} \left[ -\frac{24(5-y)^2}{25} \right] dy ]

Шаг 5: Вычисление интеграла

Вычисляем интеграл:

[ V = -\frac{24\pi}{25} \int_{0}^{5} (5-y)^2 dy ]

Находим интеграл:

[ \int (5-y)^2 dy = \int (25 - 10y + y^2) dy = 25y - 5y^2 + \frac{y^3}{3} \bigg|_{0}^{5} ]

Подставляем пределы:

[ = \left(25 \cdot 5 - 5 \cdot 25 + \frac{125}{3}\right) - 0 = 125 - 125 + \frac{125}{3} = \frac{125}{3} ]

Теперь подставляем результат обратно:

[ V = -\frac{24\pi}{25} \cdot \frac{125}{3} = \frac{-3000\pi}{75} = -40\pi ]

Шаг 6: Итоговый ответ

Объем тела вращения равен:

[ V = 40\pi \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем тела вращения, образованного вращением прямоугольной трапеции с указанными параметрами, составляет ( 40\pi ) см³.