Прямая, параллельная основанию треугольника делит его на треугольник и четырехугольник, площади которого...

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства подобия треугольников и соотношение площадей.

Итак, у нас есть треугольник ( ABC ) с основанием ( BC ), и прямая, параллельная ( BC ), делит треугольник на меньший треугольник ( ADE ) и трапецию ( BCED ). По условию, площади этих фигур относятся как 25:24, то есть:

[ \frac{S{ADE}}{S{ABC}} = \frac{25}{49} ]

Так как прямая параллельна основанию ( BC ), треугольники ( ABC ) и ( ADE ) подобны. Соотношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Пусть коэффициент подобия будет ( k ). Тогда:

[ k^2 = \frac{S{ADE}}{S{ABC}} = \frac{25}{49} ]

Отсюда ( k = \frac{5}{7} ).

Теперь, если периметр большего треугольника ( ABC ) равен 21 см, то периметр меньшего треугольника ( ADE ) равен:

[ P{ADE} = k \times P{ABC} = \frac{5}{7} \times 21 ]

Вычислим:

[ P_{ADE} = \frac{5}{7} \times 21 = 15 \text{ см} ]

Таким образом, периметр меньшего треугольника ( ADE ) равен 15 см.

Пусть основание треугольника равно a, а высота h. Тогда площадь треугольника равна (1/2)ah.

Так как прямая параллельна основанию треугольника, то высота меньшего треугольника будет равна h/5, а основание - a. Площадь меньшего треугольника будет равна (1/2)a(h/5) = (1/10)ah.

Площадь четырехугольника равна 24/25 от площади всего треугольника, значит площадь четырехугольника равна (24/25)(1/2)ah = (12/25)a*h.

Таким образом, площадь четырехугольника равна (12/25)ah, а площадь треугольника - (1/10)ah. По условию задачи эти площади равны, следовательно:

(12/25)ah = (1/10)ah

12/25 = 1/10

Получаем a = 21. Значит, основание треугольника равно 21 см.

Так как периметр большего треугольника равен 21 см, то каждая сторона большего треугольника равна 7 см.

Поскольку прямая делит треугольник на две подобные фигуры, то отношение сторон меньшего треугольника к большему будет такое же, как отношение площадей этих фигур. Значит, стороны меньшего треугольника будут составлять 21/5 = 4.2 см.

Периметр меньшего треугольника равен сумме длин его сторон, то есть 4.2 + 4.2 + 4.2 = 12.6 см.