Помогите пожалуйста, даю 25 баллов Треугольник АСВ - прямоугольный (угол С=90 градусов) АС=СВ=3см. треугольник...

1) Для доказательства того, что МС перпендикулярно ВС, можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника. Так как треугольник АСВ прямоугольный, то мы знаем, что стороны, инцидентные прямому углу, будут перпендикулярными. Таким образом, сторона СВ будет перпендикулярна к стороне АС.

Так как треугольники АМС и АСВ лежат в перпендикулярных плоскостях, а сторона АС является общей для них, то сторона МС будет перпендикулярна к стороне ВС.

2) Угол между МВ и плоскостью (АВС) будет равен углу между направляющим вектором прямой МВ и нормалью к плоскости (АВС). Нормаль к плоскости (АВС) можно найти как векторное произведение векторов АС и АВ. Затем найдем угол между направляющим вектором МВ и найденной нормалью.

3*) Для нахождения расстояния от точки Е до плоскости (ВМС) можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости. Для этого найдем уравнение плоскости (ВМС) и подставим координаты точки Е в это уравнение. Таким образом мы найдем расстояние от точки Е до плоскости (ВМС).

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

1) Доказательство, что (МС) перпендикулярно (ВС)

У нас есть два треугольника ( \triangle ACB ) и ( \triangle AMC ), которые расположены в перпендикулярных плоскостях. Поскольку ( \angle C = 90^\circ ) в треугольнике ( \triangle ACB ), ( AC ) и ( BC ) перпендикулярны.

Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны, следовательно, нормаль к одной плоскости является любой вектор, лежащий в другой плоскости. В данном случае, ( MC ) будет нормалью плоскости ( \triangle ACB ), так как ( MC ) является стороной треугольника ( \triangle AMC ), который перпендикулярен плоскости ( \triangle ACB ). Следовательно, ( MC \perp BC ).

2) Угол между (MV) и плоскостью ((ABC))

Чтобы найти угол между прямой (MV) и плоскостью ((ABC)), необходимо найти угол между вектором (MV) и его проекцией на плоскость ((ABC)).

1. Найдем координаты точек в удобной системе координат: пусть (C = (0, 0, 0)), (A = (3, 0, 0)), (B = (0, 3, 0)), и (M = (0, 0, \sqrt{6})).

2. Вектор (MV = (0, 3, -\sqrt{6})).

3. Проекция вектора (MV) на плоскость ((ABC)) — это проекция на плоскость (XY), т.е. ( (0, 3, 0) ).

4. Косинус угла (\theta) между (MV) и его проекцией можно найти через скалярное произведение: [ \cos \theta = \frac{(0, 3, -\sqrt{6}) \cdot (0, 3, 0)}{|(0, 3, -\sqrt{6})| \cdot |(0, 3, 0)|} = \frac{9}{\sqrt{15} \cdot 3} = \frac{3}{\sqrt{15}} ]

Следовательно, угол (\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{15}}\right)).

3*) Расстояние от точки (E) — середины (AB) до плоскости ((VMC))

1. Координаты точки (E) — середины отрезка (AB): (E = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)).

2. Уравнение плоскости ((VMC)): нормальный вектор плоскости ((VMC)) можно найти как векторное произведение ( \overrightarrow{VC} \times \overrightarrow{MC} ).

   [ \overrightarrow{VC} = (0, -3, 0), \quad \overrightarrow{MC} = (0, 0, \sqrt{6}) ]

   [ \overrightarrow{VC} \times \overrightarrow{MC} = (3\sqrt{6}, 0, 0) ]

3. Уравнение плоскости будет (3\sqrt{6}x = 0), то есть (x = 0).

4. Расстояние от точки (E = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)) до плоскости (x = 0) равно модулю абсциссы точки (E):

   [ d = \left|\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2} ]

Ответ: ( \frac{3}{2} ) см.