Площадь осевого сечения цилиндра равна 108см^2,а его образующая в три раза меньше диаметра основания.Найти...

Для решения задачи начнем с анализа данных и введения необходимых обозначений.

Пусть радиус основания цилиндра равен ( r ), высота цилиндра равна ( h ), а образующая цилиндра равна ( l ).

По условию, площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см². Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте цилиндра ( h ), а другая — диаметру основания ( 2r ). Таким образом, площадь осевого сечения вычисляется как произведение этих сторон:

[ 2r \cdot h = 108 ]

Теперь переходим к образующей цилиндра. По условию, образующая ( l ) в три раза меньше диаметра основания:

[ l = \frac{2r}{3} ]

Из геометрии цилиндра известно, что образующая цилиндра совпадает с его высотой ( h ):

[ h = \frac{2r}{3} ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( 2r \cdot h = 108 )
2. ( h = \frac{2r}{3} )

Подставим ( h = \frac{2r}{3} ) в первое уравнение:

[ 2r \cdot \frac{2r}{3} = 108 ]

Решим это уравнение для нахождения ( r ):

[ \frac{4r^2}{3} = 108 ] [ 4r^2 = 324 ] [ r^2 = 81 ] [ r = 9 \, \text{см} ]

Теперь найдем высоту ( h ):

[ h = \frac{2r}{3} = \frac{2 \cdot 9}{3} = 6 \, \text{см} ]

Теперь, имея значения радиуса и высоты, можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра ( S ) состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований:

[ S{\text{полная}} = S{\text{боковая}} + 2S_{\text{основания}} ]

Площадь основания ( S_{\text{основания}} ) — это площадь круга радиуса ( r ):

[ S_{\text{основания}} = \pi r^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \, \text{см}^2 ]

Площадь двух оснований:

[ 2S_{\text{основания}} = 2 \cdot 81\pi = 162\pi \, \text{см}^2 ]

Площадь боковой поверхности ( S_{\text{боковая}} ) вычисляется как произведение длины окружности основания и высоты цилиндра:

[ S_{\text{боковая}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 9 \cdot 6 = 108\pi \, \text{см}^2 ]

Теперь сложим площади боковой поверхности и двух оснований:

[ S_{\text{полная}} = 108\pi + 162\pi = 270\pi \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна:

[ 270\pi \, \text{см}^2 ]

Если требуется приблизительное значение, то можно подставить значение (\pi \approx 3.14):

[ S_{\text{полная}} \approx 270 \cdot 3.14 = 847.8 \, \text{см}^2 ]

Итак, площадь полной поверхности цилиндра составляет ( 270\pi \, \text{см}^2 ) или приблизительно 847.8 см².

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулы для площади осевого сечения и площади полной поверхности цилиндра.

Площадь осевого сечения цилиндра вычисляется по формуле: Sос = π * r^2, где r - радиус основания цилиндра.

По условию задачи известно, что Sос = 108 см^2. Поэтому можем записать: π * r^2 = 108.

Также из условия известно, что образующая цилиндра в три раза меньше диаметра основания. Образующая цилиндра равна высоте цилиндра h, а диаметр основания равен 2r. Значит, h = 3r.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: Sп = 2πr(h + r).

Подставим выражение для h в формулу площади полной поверхности цилиндра: Sп = 2πr(3r + r) = 2πr(4r) = 8πr^2.

Теперь можем подставить значение площади осевого сечения цилиндра в уравнение π r^2 = 108 и найти значение радиуса r: π r^2 = 108, r^2 = 108 / π, r = √(108 / π).

Итак, найдя значение радиуса r, можем подставить его в формулу площади полной поверхности цилиндра Sп = 8πr^2 и вычислить итоговый ответ.