площадь круга вписанного в правильный треугольник равна 16 П квадратных см. Найдите длину окружности , описанной около треугольника.
площадь круга вписанного в правильный треугольник равна 16 П квадратных см. Найдите длину окружности , описанной около треугольника.
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Площадь вписанного круга: Нам дано, что площадь круга, вписанного в правильный треугольник, равна (16\pi) квадратных сантиметров. Площадь круга выражается формулой: [ \pi r^2 = 16\pi ] Отсюда (r^2 = 16), и радиус вписанного круга равен (r = 4) см.
Правильный треугольник и радиус вписанного круга: Для правильного треугольника радиус вписанного круга (r) связан со стороной треугольника (a) следующим образом: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Подставим известное значение радиуса: [ 4 = \frac{a \sqrt{3}}{6} ] Отсюда: [ a \sqrt{3} = 24 ] [ a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} ]
Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности (R) для правильного треугольника связан со стороной (a) следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Подставим значение стороны (a): [ R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 ]
Длина описанной окружности: Длина окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: [ C = 2\pi R ] Подставим найденное значение радиуса (R): [ C = 2\pi \times 8 = 16\pi ]
Таким образом, длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна (16\pi) сантиметров.
Для решения данной задачи нам необходимо определить радиус вписанного круга в правильный треугольник. Площадь круга можно выразить через радиус по формуле: S = πr^2, где S - площадь круга, а r - радиус.
Из условия задачи известно, что площадь круга равна 16П квадратных см. Таким образом, 16П = πr^2. Отсюда находим радиус: r = √(16П/π) = 4 см.
Так как треугольник является правильным, то радиус вписанного круга является медианой треугольника и делит сторону треугольника пополам. Таким образом, длина стороны треугольника равна 2r = 8 см.
Для нахождения длины окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой: C = πd, где C - длина окружности, а d - диаметр окружности. Диаметр окружности, описанной около треугольника, равен длине стороны треугольника. Таким образом, длина окружности равна C = π * 8 = 8π см.
